Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/75

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

67

CAS PARTICULIER

59. Ce résultat peut être comparé à d’autres résultats de trois ordres différents.

1^o Comparaison électrodynamique. — Nous avons vu que la vitesse d’une molécule était représentée par le même vecteur que la force magnétique produite d’après la loi de Biot et Laplace par un courant qui parcourait le tube de tourbillons [45].

60. 2^o Comparaison analytique. — En dehors du tube $\zeta =0\ :$ d’après cette condition et d’après l’équation de continuité (2) [57] :

(8)

{\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial x}}&=-{\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{aligned}}

Ces équations expriment que $\textstyle v+{\sqrt {-1}}u$ est une fonction $x+y{\sqrt {-1}}.$ Ce qu’il est aisé de vérifier dans le cas actuel. En effet :

v+{\sqrt {-1}}u=m\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {-1}}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)={\frac {m}{x+{\sqrt {-1}}y}}.

Posons :

\mathrm {Z} =x+{\sqrt {-1}}y,

et nous pourrons écrire :

(9)

v+{\sqrt {-1}}u=f(\mathrm {Z} )={\frac {m}{\mathrm {Z} }}.

61. S’il y a plusieurs tubes tourbillonnaires, le plan des $xy$ coupe chacun d’eux suivant un cercle infiniment petit qu’on peut confondre avec les points $a_{1},$ $a_{2},\ldots a_{n}$ coïncidant avec leur centre. Soient $2\pi m_{1},$ $2\pi m_{2},\ldots 2\pi m_{n}$ les