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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

Nous obtiendrons une autre expression de $\mathrm {J}$ au moyen de l’intégrale $\textstyle \int 2\zeta d\omega$ étendue à toute la surface du cercle $\mathrm {OM} .$

Deux cas sont à distinguer :

1^o Le point $\mathrm {M}$ peut être à l’intérieur du cercle de rayon $\mathrm {R}$ $(\mathrm {\rho } <\mathrm {R} )\ ;$ $\zeta$ est alors constant à l’intérieur du cercle $\rho$ et

$\mathrm {J} =\pi \zeta \rho ^{2}=2\pi \rho \mathrm {V} .$

2^o Le point $\mathrm {M}$ est à l’extérieur du cercle $R$ $(\mathrm {\rho } <\mathrm {R} )\ ;$ $\zeta$ est constant à l’intérieur du cercle $\mathrm {R}$ et nul en dehors, donc :

$\mathrm {J} =2\pi \zeta \mathbb {R} ^{2}=2\pi \rho \mathrm {V} .$

Nous déduirons de là que :

$\mathrm {V} =\zeta \rho$

si $\rho$ est plus petit que $\mathrm {R} ,$

$\mathrm {V} =\zeta ={\frac {\mathrm {R} ^{2}}{\rho }}$

si $\rho$ est plus grand que $\mathrm {R} .$

Dans ce dernier cas, remarquons que le moment du tube tourbillonnaire est égal à :

$2\pi \zeta \mathrm {R} ^{2}=2\pi m,$

en posant :

$m=\zeta \mathrm {R} ^{2},$

et $\mathrm {V}$ prend la forme

$\mathrm {V} ={\frac {m}{\rho }}.$

Cette formule subsistera si $\mathrm {R}$ devient très petit, mais $\zeta$ très grand de façon que $m$ reste fini.