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DÉMONSTRATION DIRECTE

D’où

$\mu =\int _{0}^{2\pi }\rho \mathrm {V} \left(\sin ^{2}\omega +\cos ^{2}\omega \right)d\omega =2\pi \rho \mathrm {V}$

$\mathrm {V} ={\frac {\mu }{2\pi \rho }}.$

Cette vitesse est donc inversement proportionnelle à la distance $\mathrm {MN} =\rho ,$ comme nous l’avons trouvé par une autre méthode.

49. Démonstration directe. — Il n’est pas indispensable, pour obtenir l’expression de la fonction $\varphi ,$ d’avoir recours à la comparaison entre les équations hydrodynamiques et les équations électrodynamiques, comme nous l’avons fait ; cette expression peut s’obtenir directement comme je vais le montrer.

Pour abréger, nous dirons que la fonction $\varphi$ est engendrée par un contour G quand elle est due à un tube tourbillonnaire dont ce contour $\mathrm {C}$ est l’axe, et
Fig. 16. nous conviendrons de prendre un tube tourbillonnaire dont le moment soit égal à 1. Ce choix d’unité n’enlèvera rien évidemment à la généralité de notre démonstration. Je vais d’abord établir quelques théorèmes qui nous seront nécessaires pour trouver l’expression de la fonction $\varphi .$

50. Théorème I. — Considérons une courbe fermée $\mathrm {ABCD}$ (fig. 16) ; joignons deux points de cette courbe, $\mathrm {B} ,\mathrm {D} ,$ par un chemin quelconque $\mathrm {BED} .$ Nous formons ainsi deux contours partiels, $\mathrm {ABEG} ,\mathrm {BGDE} ,$ et un contour total, $\mathrm {ABCD.}$ Admettons