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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

figure le plan $\mathrm {R}$ (fig. 15) : la droite $\mathrm {P} \varphi$ se projette sur ce plan en $\mathrm {N} .$ $\mathrm {MN}$ est la trace du plan $\mathrm {PMQ} .$ Supposons que le tourbillon ait le sens indiqué par la flèche et que la vitesse soit dirigée suivant $\mathrm {MV} .$

Fig. 15.Prenons l’image de la figure par rapport à $\mathrm {MN} \ ;$ le moment du tube tourbillonnaire conserve la même valeur, mais le tourbillon change de sens. La vitesse conservera donc sa grandeur absolue et sa direction, mais changera de sens ; elle devient $\mathrm {MV'} .$ Comme $\mathrm {MV'}$ doit être symétrique de $\mathrm {MV}$ par rapport à $\mathrm {MN} ,$ il faut que $\mathrm {MV}$ soit perpendiculaire à $\mathrm {MN}$ et, par conséquent, au plan $\mathrm {MPQ} ,$ puisque nous savons que $\mathrm {MV}$ est situé dans le plan $\mathrm {R} .$

48. Pour trouver la grandeur de la vitesse, rappelons que :

$\mathrm {J} =\int (udx+vdy+wdz)=\mu .$

Choisissons comme contour d’intégration le cercle décrit de $\mathrm {N}$ comme centre avec $\mathrm {MN}$ comme rayon, dans le plan perpendiculaire à $\mathrm {PQ} \ ;$ prenons $\mathrm {PQ}$ comme axe des $z,$ le point $N$ comme origine, comme axes des $x$ et des $y$ deux diamètres rectangulaires du cercle. Dans ce système d’axes :

${\begin{aligned}x=\rho \cos \omega \qquad y=\rho \sin \omega \\dx=-\rho \sin \omega d\omega \qquad dy=\rho \cos \omega d\omega \qquad dz=0\\u=-\mathrm {V} \sin \omega ,\qquad v=\mathrm {V} \cos \omega ,\qquad w=0.\end{aligned}}$