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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE
d’où :
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left(w'-w''\right)}{\partial y}}-{\frac {\partial \left(v'-v''\right)}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382835cb1e44f5fc31df31285402a15b65e3f9d1)
et deux autres équations analogues. Ces trois équations expriment que la somme
![{\displaystyle \left(u'-u''\right)dx+\left(v'-v''\right)dy+\left(w'-w''\right)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9573ba7e862430e60a11b4ade97eb4dad1efba01)
est une différentielle exacte
On peut donc poser :
![{\displaystyle u'-u''={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\ldots \quad {\textrm {etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc10cb38d80f89e49f674934b523d8a50768ecc6)
Écrivons que l’équation de continuité est satisfaite pour
et pour
il vient :
![{\displaystyle \sum {\frac {\partial u'}{\partial x}}=0\quad \sum {\frac {\partial u''}{\partial x}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5358daae71250582fe24f8646ffaed0e0cdf25d)
d’où, en retranchant membre à membre :
![{\displaystyle \sum {\frac {\partial \left(u'-u''\right)}{\partial x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5a4a9452b0c7ec0f3f73b4c3bb4fc84b706b06)
c’est-à-dire :
![{\displaystyle \Delta \varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61747a8c2380abe98591c76bd0a2cefcd8ba1398)
Si le vase est entièrement rempli, la composante normale de la vitesse doit être nulle en chaque point de la paroi. Soient
les cosinus directeurs de la normale en un point de la paroi, la composante normale de la vitesse sera :
![{\displaystyle lu+mv+pw,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a1ab1eeb7e9dce0e031693da5c908a32a199f9)
et si cette composante est nulle :
![{\displaystyle {\begin{aligned}lu'+mv'+pw'&=0\\lu''+mv''+pw''&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b48b024661508685a01b33953ce7d462020307)