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LE TOURBILLON N’EST PAS NUL

du volume, on déduit du théorème de Green :

$\varphi '-\varphi ''={\textrm {const.}}$

ou :

${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}.\qquad {\textrm {etc.}}$

40. Le tourbillon n’est pas nul. — Dans le cas où le tourbillon n’est pas nul, le problème de Helmholtz est déterminé et, s’il admet une solution, n’en admet qu'une seule.

En effet, quel est ce problème ? Il s’agit, étant données les composantes $\xi ,\eta ,\zeta$ du tourbillon, de déterminer $u,v,w$ d’après les équations :

(4)

$\left\{{\begin{aligned}2\xi &={\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}\\2\eta &={\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\2\zeta &={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial x}}+&{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$

Supposons que nous ayons trouvé deux solutions :

${\begin{alignedat}{4}u\,&=u'\qquad &u&\,=u''\\v\,&=v'\qquad &v&\,=v''\\w\,&=w'\qquad &w&\,=w''\end{alignedat}}$

Nous aurons :

${\begin{aligned}2\xi &={\frac {\partial w'}{\partial y}}-{\frac {\partial v'}{\partial z}}\\2\xi &={\frac {\partial w''}{\partial y}}-{\frac {\partial v''}{\partial z}}\end{aligned}}$