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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

membre à membre les deux équations ci-dessus, il vient :

$\varphi _{1}'-\varphi _{1}''=\varphi _{2}'-\varphi _{2}''$

La fonction $\varphi '-\varphi ''$ a donc même valeur de part et d’autre de la coupure, elle est uniforme et continue dans tout le volume, et on peut lui appliquer le théorème de Green ; on en déduira :

${\frac {\partial \left(\varphi '-\varphi ''\right)}{\partial x}}=0,\quad {\textrm {etc.}}$

ou

${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}},\quad {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}={\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}},\quad {\frac {\partial \varphi '}{\partial z}}={\frac {\partial \varphi ''}{\partial z}}.$

Les composantes de la vitesse sont les mêmes dans les deux cas : il y a donc un seul mouvement possible.

39. 3^o Vase triplement connexe. — Il faut faire dans ce cas deux coupures pour rendre le volume simplement connexe.

Le mouvement est déterminé quand on se donne :

$\varphi _{1}-\varphi _{2}=\mathrm {J} _{0}\qquad \varphi _{3}-\varphi _{4}=\mathrm {J} _{1}$

$\varphi _{1}-\varphi _{2}$ étant la différence des valeurs de $\varphi$ sur les deux bords de la première coupure, $\varphi _{3}-\varphi _{4}$ cette différence relativement à la seconde coupure.

On trouverait comme précédemment, en admettant qu’il existe deux solutions $\varphi '$ et $\varphi ''\ :$

${\begin{aligned}\varphi _{1}'-\varphi _{2}'&=\varphi _{1}''-\varphi _{2}''\\\varphi _{3}'-\varphi _{4}'&=\varphi _{3}''-\varphi _{4}''.\end{aligned}}$

La fonction $\varphi '-\varphi ''$ étant uniforme et continue à l’intérieur