On en déduit comme ci-dessus :
La vitesse est donc nulle en tous les points.
37. Le raisonnement qui précède n’a de valeur que pour un volume simplement connexe. Si le vase était à connexion multiple, la fonction ne serait plus uniforme, et le théorème de Green cesserait d’être applicable.
38. 2o Vase doublement connexe. — Supposons que le vase soit doublement connexe, et par exemple qu’il ait la forme d’un tore. Pratiquons une coupure suivant un cercle méridien : les courbes fermées de seconde espèce rencontreront cette coupure. La fonction des vitesses est uniforme tant qu’on ne traverse pas cette coupure ; mais d’un bord à l’autre, la fonction présente une discontinuité qui est constante sur toute la surface de la coupure.
Je dis que, si on se donne cette constante, autrement dit la valeur de le long d’une courbe de seconde espèce, le mouvement du liquide est entièrement déterminé.
Supposons, en effet, qu’il y ait deux solutions possibles, et soient et les deux fonctions des vitesses correspondant à ces solutions ; soient et les valeurs de de part et d’autre de la coupure, et celles de Nous aurons :
étant la constante donnée ; tant qu’on ne traverse pas la
coupure, et sont d’ailleurs uniformes. Retranchons
