Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/49

41

LIQUIDE OCCUPANT UN ESPACE INDÉFINI

en posant comme d’habitude :

$\Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}.$

34. Théorème. — Il y a deux cas où ces conditions ne peuvent être remplies sans que le liquide soit en repos.

1^o Quand le liquide remplit l’espace indéfini et se trouve en repos à l’infini ;

2^o Quand le liquide remplit entièrement un vase solide, fermé et simplement connexe.

Nous démontrerons ces deux propositions en nous appuyant sur le théorème de Green, qui s’exprime par l’équation :

(3)

$\int \varphi {\frac {d\varphi }{dn}}d\omega =\int \varphi \Delta \varphi d\tau +\int \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right]d\tau$

L’intégrale du premier membre est étendue à tous les éléments $d\omega$ d’une surface fermée ; les deux autres, à tous les éléments $d\tau$ du volume limité par cette surface. ${\tfrac {d\varphi }{dn}}$ est la dérivée de $\varphi$ estimée suivant la normale à la surface au centre de gravité de l’élément $d\omega .$ Ici c’est la projection de la vitesse sur cette normale. La fonction $\varphi$ doit être uniforme à l’intérieur du volume $d\tau .$

35. Liquide occupant un espace indéfini. — Appliquons le théorème de Green à une sphère de rayon très grand.

Comme nous supposons que le liquide est en repos à l’infini, ${\tfrac {d\varphi }{dn}}$ sera nul sur toute la surface de cette sphère ; l’intégrale du premier membre sera nulle. La première intégrale du second membre est aussi nulle, puisque $\Delta \varphi =0\ ;$ par