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COUPURES

et que :

$u={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\quad v=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\quad w=0.$

Les lignes de courants sont des cercles ayant leur centre situé sur l’axe et tracés dans des plans perpendiculaires à cet axe.

$udx+vdy={\frac {ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}}=d\,{\textrm {arctang}}\,{\frac {y}{x}}.$

Cette fonction des vitesses arc tang ${\tfrac {y}{x}}$ n’est pas uniforme, mais elle est susceptible d’une infinité de déterminations qui diffèrent entre elles de $\pi .$ Quand nous prendrons l’intégrale $\mathrm {J}$ le long d’une courbe de seconde espèce, cette intégrale sera égale non pas à 0, mais à $\pi$ ou à un multiple de $\pi \ :$ parce qu’en revenant au point de départ on retrouve une autre détermination de la fonction.

30. Coupures. — Lorsqu’un volume est à connexion multiple, il est possible de le rendre simplement connexe en pratiquant des coupures. Si en particulier le volume est doublement connexe, il suffit de faire une seule coupure. Par exemple, un tore peut être rendu simplement connexe en le coupant le long d’un de ses cercles méridiens.

Les courbes qui ne traversent pas la coupure seront de première espèce ; les courbes qui traversent la coupure seront de deuxième espèce.

La fonction des vitesses reste uniforme tant qu’on ne traverse pas la coupure, et l’intégrale $\mathrm {J}$ prise le long d’une courbe qui ne traverse pas la coupure est nulle.

Considérons au contraire deux points infiniment voisins l’un