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CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Par conséquent :

{\frac {d\psi }{d\alpha }}={\frac {d\mathrm {T} }{d\alpha }}\quad {\textrm {et}}\quad \psi -\mathrm {T} ={\textrm {const.}}

25. Théorème de Bernouilli. — Dans le cas où les tourbillons sont nuls, c’est-à-dire quand il existe une fonction des vitesses :

\xi =\eta =\zeta =0.

La direction du tourbillon est indéterminée ; une ligne quelconque peut être regardée comme une ligne de tourbillon et $\psi -\mathrm {T}$ est constant dans tout l’espace : c’est le théorème de Bernouilli.

26. Détermination des vitesses en fonction des tourbillons. — Nous nous proposons, étant données les composantes $\xi ,\eta ,\zeta$ du tourbillon d’en déduire les composantes de la vitesse $u,v,w.$

Si nous pouvons résoudre ce problème, comme les tourbillons se conservent, nous connaîtrons la vitesse avec laquelle ils se déplacent et, par conséquent, leur direction et leur grandeur, à une époque $t+dt$ infiniment peu différente de la première, puis par intégration à une époque quelconque.

Remarquons d’abord que ce problème est en général indéterminé, sauf dans deux cas seulement : quand il s’agit d’un liquide homogène, occupant un espace indéfini, ou d’un liquide homogène remplissant entièrement le vase qui le renferme.

27. Volumes à connexion simple et volumes à connexion multiple. — Avant d’aborder l’étude de la question