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CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Je dis que l’équation des surfaces que nous venons de définir est :

$\psi -\mathrm {T} ={\textrm {const.}}$

Pour le démontrer, il suffit de montrer que $\psi -\mathrm {T}$ est constant d’une part sur les lignes de courant, d’autre part sur les lignes de tourbillon.

1^o Sur les lignes de courant. — Ces lignes sont les trajectoires des molécules ; nous suivons une molécule dans son mouvement ; avec les notations de Lagrange, $t$ seul est variable, donc :

${\begin{aligned}d\psi &={\frac {d\psi }{dt}}dt\\d\mathrm {T} &={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}dt\\d\mathrm {T} &=udu+vdv+wdw=d{\frac {du}{dt}}+v{\frac {dv}{dt}}+w{\frac {dw}{dt}}\\d\psi &=u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=d{\frac {du}{dt}}+v{\frac {dv}{dt}}+w{\frac {dw}{dt}}\end{aligned}}$

car, d’après les équations de Lagrange [4] :

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad {\textrm {etc.}}$

Donc

${\frac {d\psi }{dt}}={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}\quad {\textrm {ou}}\quad d\psi -d\mathrm {T} =0.$

(1)

$\psi -\mathrm {T} ={\textrm {const.}}$

2^o Sur les lignes de tourbillon. — Ces lignes ont pour équations :

${\frac {dx}{\xi }}={\frac {dy}{\eta }}={\frac {dz}{\zeta }}=d\alpha ,$

ou :

$dx=\xi d\alpha \quad dy=\eta d\alpha \quad dz=\zeta d\alpha .$