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ÉQUATION GÉNÉRALE DE CES SURFACES

une infinité de surfaces sur lesquelles on peut tracer une infinité de lignes de courant et une infinité de lignes de tourbillon.

Voici ce que signifie cet énoncé :

Fig. 9.Par un point $\mathrm {A}$ (fig. 9), on peut mener une ligne de courant $\mathrm {AC}$ et une ligne de tourbillon $\mathrm {AT} .$ Si par les différents points de $\mathrm {AC}$ nous menons les lignes de tourbillon, elles engendrent une certaine surface ; si nous menons de même, par les divers points de $\mathrm {AT} ,$ les lignes de courant, elles engendrent une autre surface ; le théorème signifie que ces deux surfaces sont identiques.

Autrement encore, si nous menons par les points $\mathrm {A,A',A'',A'''}$ de $\mathrm {AT}$ les lignes de courant $\mathrm {AC,A'C',A''C'',A'''C'''} ,$ une ligne de tourbillon menée par un point $\mathrm {B}$ quelconque de $\mathrm {AC}$ rencontrera $\mathrm {AC} ,\mathrm {A'C'} \ldots ,{\textrm {etc.}}$

Cette proposition est presque évidente. En effet, quand le mouvement est permanent, les lignes de courant sont les trajectoires des molécules fluides. Or considérons les molécules qui à l’époque $t=0$ sont en $\mathrm {A,A',A'',A'''} \ ;$ à l’époque $t$, elles sont venues en $\mathrm {B,B',B'',B'''.}$ Comme les tourbillons se conservent en vertu du théorème de Helmholtz, les molécules $\mathrm {B,B',B'',B'''}$ sont encore sur une même ligne de tourbillon.

24. Équation générale de ces surfaces. — Nous avons posé [4] :

${\begin{aligned}\psi &=\mathrm {V} -\int {\frac {dp}{\rho }}\\\mathrm {T} &={\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right).\end{aligned}}$