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CHAPITRE II

CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE HELMHOLTZ

22. Cas des mouvements permanents. — Le mouvement est permanent quand toutes les fonctions que nous avons définies $u,v,w,\psi$ ne dépendent pas de $t,$ mais seulement des variables $x,y,z$ d’Euler. Par conséquent, dans le cas des mouvements permanents :

{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\quad \ldots \quad {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0,\quad {\textrm {etc.}}

et [1] :

{\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&=u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {d\psi }{dt}}&=u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\end{aligned}}

relation qui s’applique d’ailleurs à une fonction quelconque $\psi .$

Dans ces conditions, on peut déduire du théorème fondamental de Helmholtz un certain nombre de conséquences.

23. Théorème. — Si le mouvement est permanent, il existe