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THÉORÈME DE HELMHOLTZ
Différentions (1) par rapport à
, (2) par rapport à
, et
retranchons :
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d^{2}u}{dtdb}}{\frac {dx}{da}}-{\frac {d^{2}u}{dtda}}{\frac {dx}{db}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04c7d653d4c0c7baf5b5142292f11465a6b2032)
ou, comme il est facile de le vérifier :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum \left({\frac {du}{db}}{\frac {dx}{da}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dx}{db}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e515a4140cf035862a20d0d3614129738585abe)
et enfin :
(20)
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On obtient deux autres équations analogues en permutant
circulairement
et changeant la valeur de la constante.
21 bis. Ces équations de Kirchhoff sont équivalentes, comme
nous allons le montrer à celle que nous avons donnée au
début :
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int udx+vdy+wdz={\textrm {const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b86d0b140c1b1eb2271ce93a533bbd79445a749)
Considérons, en effet, un point
dont les coordonnées
soient
dans le système d’Euler, ou
dans celui
de Kirchhoff :
varient avec
mais
sont indépendants de
et dépendent seulement de
Le point
appartient à une certaine courbe
je puis choisir
de manière que, pour tous les points de cette courbe,
Si cette condition est remplie à l’instant
elle le sera
encore à toute autre époque.