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THÉORÈME DE HELMHOLTZ
Différentions l’équation (3) par rapport
l’équation (2)
par rapport à
et retranchons : il vient, en se rappelant la
définition de
[9] :
(18)
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D’autre part,
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}={\frac {\partial \xi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \xi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \xi }{\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5a715809baae2f9de83ad7255e3de6594a0a48)
et l’équation de continuité pour les liquides se réduit à :
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2705afccd98e693f484c01f7bf92b058b3f2eb)
En tenant compte de ces relations, on met aisément l’équation (4) sous la forme :
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=\xi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\eta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\zeta {\frac {\partial w}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae9ed4bc37ab8267e1b85d759568b96578f9b05)
Nous retrouvons bien l’équation (16). Seulement cette
démonstration du théorème de Helmholtz ne s’applique qu’aux
liquides.
20. Démonstration de Kirchhoff. — Kirchhoff prend
comme point de départ les équations de Lagrange
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad {\frac {dv}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad {\frac {dw}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ee05a8ccd21646c48db3cdbcf274835db47157)
transformées de manière à ne plus dépendre que des variables
de Lagrange.