Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/34

26

THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Différentions l’équation (3) par rapport $y,$ l’équation (2) par rapport à $z,$ et retranchons : il vient, en se rappelant la définition de $\xi ,\eta ,\zeta$ [9] :

(18)

${\begin{aligned}2{\frac {\partial \xi }{\partial t}}&=-2u{\frac {\partial \xi }{\partial x}}-2v{\frac {\partial \xi }{\partial y}}-2w{\frac {\partial \xi }{\partial z}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial w}{\partial x}}\\&-{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{aligned}}$

D’autre part,

${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {\partial \xi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \xi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \xi }{\partial x}},$

et l’équation de continuité pour les liquides se réduit à :

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0.$

En tenant compte de ces relations, on met aisément l’équation (4) sous la forme :

${\frac {d\xi }{dt}}=\xi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\eta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\zeta {\frac {\partial w}{\partial x}}.$

Nous retrouvons bien l’équation (16). Seulement cette démonstration du théorème de Helmholtz ne s’applique qu’aux liquides.

20. Démonstration de Kirchhoff. — Kirchhoff prend comme point de départ les équations de Lagrange

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad {\frac {dv}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad {\frac {dw}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}$

transformées de manière à ne plus dépendre que des variables de Lagrange.