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AUTRES DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE HELMHOLTZ

En effet, si nous les retranchons membre à membre :

$0=\eta \left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)+\zeta \left({\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial x}{\partial x}}\right)$

ou

$0=-2\eta \zeta +2\eta \zeta =0.$

La relation (15) et les deux autres qui s’en déduisent par permutation expriment le théorème de Helmholtz, mais dans le cas des liquides exclusivement.

19. Autres démonstrations du théorème de Helmholtz. — 1^o Démonstration de Helmholtz. — Helmholtz cherche à obtenir les équations sous la dernière forme (15), que nous venons de leur donner, en partant des équations d’Euler.

Nous avons écrit [4] les équations de Lagrange :

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad {\textrm {etc.}}$

sous une forme qui contient encore les variables de Lagrange et celles d’Euler. Pour ne laisser que les dernières, faisons la transformation :

${\frac {du}{dt}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}},\quad {\textrm {etc.}}$

nous obtiendrons :

(17)

$\left\{{\begin{aligned}(1)&\quad &{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}-u{\frac {\partial u}{\partial x}}-v{\frac {\partial u}{\partial y}}-w{\frac {\partial u}{\partial z}}\\(2)&\quad &{\frac {\partial v}{\partial t}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}-u{\frac {\partial v}{\partial x}}-v{\frac {\partial v}{\partial y}}-w{\frac {\partial v}{\partial z}}\\(3)&\quad &{\frac {\partial w}{\partial t}}&={\frac {\partial \psi }{\partial z}}-u{\frac {\partial w}{\partial x}}-v{\frac {\partial w}{\partial y}}-w{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{aligned}}\right.$