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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Nous avons vu d'ailleurs que $d\omega$ varie en raison inverse du tourbillon. La distance $\mathrm {MM'}$ de deux molécules varie donc proportionnellement au tourbillon. $\mathrm {MM'}$ représente donc en grandeur, direction et sens, le tourbillon multiplié par une certaine constante $\varepsilon$.

Soient $x,y,z$ les coordonnées de $\mathrm {M} ,$ celles de $\mathrm {M'}$ seront $x+\varepsilon \xi ,y+\varepsilon \eta ,z+\varepsilon \zeta .$

Au bout d'un temps infiniment petit $dt$, les coordonnées de $\mathrm {M}$ sont devenues

$x+udt,\quad y+vdt,\quad z+wdt.$

Celles de $\mathrm {M'}$ :

$x+\varepsilon \xi +u_{1}dt,\ldots {\textrm {etc.}}$

Or :

$u_{1}=u+{\frac {\partial u}{\partial \xi }}\varepsilon \xi +{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\varepsilon \eta +{\frac {\partial u}{\partial \xi }}\varepsilon \zeta .$

Les coordonnées de $\mathrm {M'}$ sont donc devenues :

$x+\varepsilon \xi udt+\varepsilon dt\left(\xi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\eta {\frac {\partial u}{\partial y}}+\zeta {\frac {\partial u}{\partial z}}\right),\ {\textrm {etc.}}$

D’autre part, les projections de $\mathrm {MM'}$ étant égales à $\varepsilon \xi ,\varepsilon \eta ,\varepsilon \zeta ,$ ces coordonnées sont :

$x+udt+\varepsilon \left(\xi +{\frac {d\xi }{dt}}dt\right).$

En égalant ces deux expressions, il vient :

(15)

${\frac {d\xi }{dt}}=\xi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\eta {\frac {\partial u}{\partial y}}+\zeta {\frac {\partial u}{\partial z}}.$

Cette relation est identique à la suivante

(16)

${\frac {d\xi }{dt}}=\xi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\eta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\zeta {\frac {\partial w}{\partial x}}.$