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SURFACES DE TOURBILLON

par les différents points de cette courbe menons les lignes de tourbillon. Leur ensemble engendrera une surface de tourbillon, qui sera simplement connexe si la courbe $\mathrm {AB}$ n’est pas fermée.
Fig. 5.

Traçons sur cette surface une courbe fermée $\mathrm {C}$ limitant une certaine aire $\alpha .$ L’intégrale $\mathrm {J}$ prise le long de $\mathrm {G}$ est nulle ; en effet :

$\mathrm {J} _{\mathrm {C} }=\int _{\alpha }2d\omega (l\xi +m\eta +n\zeta )$

Or la composante normale du tourbillon $l\xi +m\eta +n\zeta$ est nulle pour tous les éléments $d\omega$ de l’aire $\alpha ,$ qui appartient à une surface de tourbillon. Donc $\mathrm {J} =0.$

13. Réciproquement : Si une surface jouit de cette propriété que l’intégrale $\mathrm {J}$ étendue à toute courbe fermée, tracée sur cette surface, soit nulle, c’est une surface de tourbillon. En effet :

$\mathrm {J} =\int _{\alpha }2d\omega (l\xi +m\eta +n\zeta )$

Pour que cette intégrale soit nulle, quelle que soit l’aire $\alpha ,$ il faut que

$l\xi +m\eta +n\zeta =0$

pour tous les éléments de la surface, c’est-à-dire que la composante normale du tourbillon soit nulle. La surface est donc une surface de tourbillon.