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THÉORIE DE HELMHOLTZ

11. Lignes de tourbillon. — On peut aussi considérer les lignes qui en chacun de leurs points sont tangentes au vecteur tourbillon. Leurs équations différentielles sont :

(13)

${\frac {dx}{\xi }}={\frac {dy}{\eta }}={\frac {dz}{\zeta }}$

Ce sont les lignes de tourbillon. Supposons, par exemple, la vitesse indépendante de $z$ et parallèle au plan des $xy$ : $w=0,$ et les dérivées de $u$ et de $v$ par rapport à $z$ sont nulles. Alors, d’après les équations de définition (11) [9] :

${\begin{aligned}&\xi =\eta =0\\&\zeta =-{\frac {du}{dy}}.\end{aligned}}$

Les équations des lignes de tourbillon deviennent :

${\frac {dx}{0}}={\frac {dy}{0}}={\frac {dz}{\zeta }}$

ou

$dx=dy=0$

Les lignes de tourbillon sont des droites parallèles à $0z$.

12. Surfaces de tourbillon. — Une surface de tourbillon est une surface engendrée par des lignes de tourbillon : autrement dit, c’est une surface dont le plan tangent en chaque point passe par le tourbillon. La condition qui exprime qu’une surface $f(x,y,z)=0$ est une surface de tourbillon sera par suite :

(14)

$\xi {\frac {df}{dx}}+\eta {\frac {df}{dy}}+\zeta {\frac {df}{dz}}=0.$

Considérons un arc de courbe quelconque $\mathrm {AB}$ (fig. 5), et