Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/24

16

THÉORÈME DE HELMHOLTZ

Le vecteur qui a pour composantes $(\zeta ,\eta ,\xi )$ est ce qu’Helmholtz appelle le tourbillon. Cette dénomination demande quelques explications.

Supposons que la courbe $\mathrm {C}$ soit une circonférence (fig. 4). Par un point $\mathrm {M}$ de la courbe menons le vecteur $\mathrm {MV}$ qui représente la vitesse ; ses composantes sont $(u,v,w).$ L’expression

$udx+vdy+wdz$

Fig. 4.
représente le produit de l’élément de courbe $\mathrm {MM'}$ par la projection de la vitesse sur la direction $\mathrm {MM'}$. Ce produit représente le travail que fournirait une force égale numériquement à la vitesse, quand son point d’application se déplacerait de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {M'}$. L’intégrale $\mathrm {J}$ est égale au travail que produirait cette force si le point $\mathrm {M}$ décrivait la circonférence entière.

Décomposons le vecteur $\mathrm {MV}$ en trois autres, l’un parallèle à l’axe $\mathrm {OA}$ perpendiculaire au plan du cercle, le deuxième dirigé suivant la tangente au cercle en $\mathrm {M}$, et enfin le troisième suivant le rayon vecteur $\mathrm {OM}$. La composante tangentielle produira seul un travail. Désignons par $\mathrm {R}$ le rayon du cercle ; nous représenterons cette composante par $\varphi \mathrm {R}$, $\varphi$ étant une vitesse angulaire. Posons :

$x=\mathrm {R} \cos \omega \quad y=\mathrm {R} \sin \omega ,$

et il viendra :

$\mathrm {J} =\int _{0}^{2\pi }\varphi \mathrm {R} ^{2}d\omega .$

Soit $\varphi _{0}$ la vitesse angulaire moyenne le long du cercle,