Le vecteur qui a pour composantes est ce qu’Helmholtz appelle le tourbillon. Cette dénomination demande quelques explications.
Supposons que la courbe soit une circonférence (fig. 4). Par un point de la courbe menons le vecteur qui représente la vitesse ; ses composantes sont L’expression
Fig. 4.
représente le produit de l’élément de courbe par la projection de la vitesse sur la direction . Ce produit représente le travail que fournirait
une force égale numériquement à la vitesse,
quand son point d’application se déplacerait
de en . L’intégrale est égale au travail que produirait cette force si le point décrivait la circonférence entière.
Décomposons le vecteur en trois autres, l’un parallèle à l’axe perpendiculaire au plan du cercle, le deuxième dirigé suivant la tangente au cercle en , et enfin le troisième suivant le rayon vecteur . La composante tangentielle produira seul un travail. Désignons par le rayon du cercle ; nous représenterons cette composante par , étant une vitesse angulaire. Posons :
et il viendra :
Soit la vitesse angulaire moyenne le long du cercle,