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DÉFINITION DU TOURBILLON
en appliquant à chacun de ces triangles situés dans les plans de coordonnées l’égalité (1). Or ces triangles ne sont autre chose que les projections de
sur ces plans : donc, si
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ABC} &=d\omega ,\\\mathrm {AOB} =ld\omega \quad \mathrm {AOC} &=md\omega \quad \mathrm {BOC} =nd\omega \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b3937d7d1dc64e2822f8580bd3e0a9405ab3a1)
et on a bien :
![{\displaystyle \int udx+vdy+wdz=\int ld\omega \left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a15f3ebd34c091396d22845f1949facbfd2f50)
Le théorème est ainsi démontré d’une façon générale, car une aire quelconque peut être décomposée en triangles assez petits pour être assimilés à des triangles plans tels que
Maxwell a fait un fréquent usage de ce théorème. (Voir son Traité.)
9. Notations de Helmholtz. — Définition du tourbillon. — Helmholtz pose :
(11)
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D’après la formule de Stokes, il vient alors :
![{\displaystyle \int \left(udw+vdy+wdz\right)=2\int d\omega \left(l\xi +m\eta +b\zeta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2338d353460bd0c2e702eb6f1207c9ba9eae2d1)
D’après ce que nous avons établi (6), cette intégrale étendue à l’aire
demeure constante pendant le mouvement de cette aire.