Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/210

202

INFLUENCE DE LA VISCOSITÉ DES FLUIDES

En prenant ensuite

$\zeta =\mathrm {Z} ,$

nous pourrons calculer $\zeta$ à un instant quelconque.

Pour choisir la fonction $\mathrm {F} ,$ il faut connaître la valeur de $\zeta$ à l’origine du temps, car pour $t=0$

$\zeta _{0}=\iint e^{-{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{h}}}\mathrm {F} (x,y)d\alpha d\beta =\mathrm {F} (x,y)\iint e^{-{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{h}}}d\alpha d\beta$

Or ;

$\iint e^{-{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{h}}}d\alpha d\beta ={\frac {\pi }{4}},$

et par conséquent

$\zeta _{0}={\frac {\pi }{4}}\mathrm {F} (x,y)$

équation qui détermine $\mathrm {F} .$

Si la valeur initiale de $\zeta$ ne dépend que de $r,$ $\mathrm {F}$ ne dépendra non plus que de $r,$ et il sera possible de déterminer $\zeta$ à une époque quelconque, si rien ne vient déranger la symétrie, ou si les conditions de stabilité sont remplies.

158. Théorème de Helmholtz dans le mouvement relatif. — Le théorème de Helmholtz exprime que l'intégrale

$\mathrm {J} =\int udx+vdy+wdz$

est constante quand il y a une fonction des forces. Dans le cas du mouvement relatif, il n’y a plus de fonction des forces : le