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SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
puisque
représente l’accroissement de la densité
pendant le temps
.
Donc il faut que :
(6)
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c’est l’équation de continuité dans le système d’Euler. Elle peut s’écrire :
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\Sigma \rho {\frac {\partial u}{\partial x}}+\Sigma u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d826d27f209a41e5d145598c0cf11728d4c60065)
ou en tenant compte de la relation (2)
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \Sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07336e0770ede14781dbec3c79f71405321b1f1)
Seulement, sous cette dernière forme, elle renferme les deux espèces de dérivées.
4. Simplification des équations de Lagrange. — Les équations de Lagrange sont susceptibles de se simplifier,
quand on fait les hypothèses nécessaires, comme nous le verrons, pour l’application du principe de Helmholtz.
Dans ce cas, les forces
admettent un potentiel
:
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}\quad \mathrm {Y} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}\quad \mathrm {Z} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354087eecbc2fc1c8d36c0810439b47edf47e1c1)
Quel que soit le fluide, la densité
, la pression
et la température
sont liées par une relation, telle que :
![{\displaystyle \rho =f\left(p,\mathrm {T} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af21835d3fb85188cb9fd852622d0e330a5c16bd)
Pour que le théorème soit applicable, il faut que
soit fonc-