Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/16

8

THÉORÈME DE HELMHOLTZ

La quantité de fluide qui a traversé $d\omega$ pendant le temps $dt$ est donc :

$\rho \mathrm {V} _{n}d\omega .dt.$

Fig. 2.

Considérons maintenant un parallélépipède rectangle, dont les arêtes sont respectivement parallèles aux axes de coordonnées et égales à $dx,dy,dz$ (fig. 2). D’après ce qui précède, la masse de fluide qui traverse pendant le temps $dt$ la face $\mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} \mathrm {D}$ perpendiculaire à $\mathrm {O} x$ est égale à :

$\rho udydzdt;$

celle qui traverse la face opposée :

$\left(\rho u+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\right)dydzdt.$

Il est donc entré dans le parallélépipède, par ces deux faces, une masse de fluide égale à :

$-{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}dxdydzdt.$

En faisant le même calcul pour les deux autres couples de faces, on trouve que la masse totale du fluide qui est entrée dans le parallélépipède pendant le temps $dt$ est égale à :

$-\left({\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho w)}{\partial z}}\right)dxdydzdt.$

D’autre part, l’accroissement de la masse $\rho dxdydz$ du fluide contenu dans le parallélépipède pendant le temps $dt,$ est :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}.dxdydzdt,$