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THÉORÈME DE HELMHOLTZ

À l’extérieur du cylindre, nous aurons :

$x=x_{0}\quad y=y_{0}\quad z=z_{0}\ ;$

à l’intérieur :

$x=x_{0}+vt\quad y=y_{0}\quad z=z_{0}.$

$x$ est donc une fonction discontinue de $x_{0},y_{0},z_{0}.$

Si $x,y,z$ sont des fonctions continues de $x_{0},y_{0},z_{0},$ les molécules de liquide qui au temps $t=0$ forment une courbe ou une surface continue formeront encore une courbe ou une surface continue à une époque quelconque $t$ ; si la courbe au temps $0$ est fermée, elle le sera encore au temps $t$.

En effet, supposons que les molécules dans leurs positions initiales forment un certain arc de courbe. Les équations de cet arc de courbe pourront se mettre sous la forme :

$x_{0}=f_{0}(\alpha )\quad y_{0}=f_{0}^{'}(\alpha )\quad z_{0}=f_{0}^{''}(\alpha )$

$f_{0},f_{0}^{'},f_{0}^{''}$ étant des fonctions continues du paramètre $\alpha$.

Au temps $t$, les coordonnées des molécules deviennent $x,y,z,$ qui, par hypothèse, sont des fonctions continues de $x_{0},y_{0},z_{0}$. Ce seront par conséquent des fonctions continues de $\alpha$ :

$x=f(\alpha )\quad y=f^{'}(\alpha )\quad z=f^{''}(\alpha )$

Ces équations représentent encore un arc de courbe continue.

Si la courbe initiale $\mathrm {C} _{0}$ est fermée, $x_{0},y_{0},z_{0}$ sont des fonctions périodiques de $\alpha$. Comme $x,y,z$ sont des fonctions uniformes de $x,y,z,$ ce seront aussi des fonctions périodiques de $\alpha$ ; et la courbe $\mathrm {C} ,$ qu’occupent les molécules à l’époque $t$, sera également fermée.

Si les molécules, à l’origine des temps, occupent une sur-