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ÉQUATION DE L’HYDRODYNAMIQUE

Pour passer de ces équations à celles de l’hydrodynamique, il faut ajouter aux forces réelles les forces fictives d’inertie (principe de d’Alembert). Les composantes de ces forces d’inertie sont respectivement égales aux composantes de l’accélération multipliées par la masse et changées de signe : soient :

$-\rho d\tau {\frac {du}{dt}},\quad -\rho d\tau {\frac {dv}{dt}},\quad -\rho d\tau {\frac {dw}{dt}}.$

Les équations de l’hydrodynamique seront donc :

1^o Dans le système de Lagrange :

(4)

${\begin{aligned}&{\frac {\partial p}{\rho \partial x}}=\mathrm {X} -{\frac {du}{dt}}\\&{\frac {\partial p}{\rho \partial y}}=\mathrm {Y} -{\frac {dv}{dt}}\\&{\frac {\partial p}{\rho \partial z}}=\mathrm {Z} -{\frac {dw}{dt}}\ ;\end{aligned}}$

2^o Dans le système d’Euler :

(5)

${\frac {\partial p}{\rho \partial x}}=\mathrm {X} -{\frac {\partial u}{\partial t}}-u{\frac {\partial u}{\partial x}}-v{\frac {\partial u}{\partial y}}-w{\frac {\partial u}{\partial z}},\ {\textrm {etc}}.$

2. Dans tout ce qui suivra, je supposerai que $x,y,z$ soient des fonctions continues de $x_{0},y_{0},z_{0}$. Cette condition n’est pas toujours satisfaite. Soient en effet deux réservoirs remplis de liquide, séparés par une paroi percée d’une ouverture, et dans l’un desquels règne une pression élevée. Il se produira une veine liquide en dehors de laquelle le liquide demeurera immobile, tandis qu’à l’intérieur de la veine il prendra un mouvement uniforme. Supposons que la veine ait la forme d’un cylindre parallèle à l’axe des $x$.