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TUBES TOURBILLONNAIRES DE RÉVOLUTION

sorte de tore (fig. 31), et soient $d\omega$ sa section droite, $\mathrm {R}$ la distance du centre de gravité de cette section à l’axe $Oz.$ Le volume du tube sera :

$2\pi \mathrm {R} d\omega ,$

et il doit demeurer constant. Le tourbillon $\sigma$ étant perpendiculaire au plan méridien, le moment du tube a une valeur

$2\sigma d\omega$

constante tout le long du tube. Puisque $d\omega$ est constant, il faut que $\sigma$ le soit aussi ; $\sigma$ ne dépend que de $z$ et de $\mathrm {R} \ ;$ en posant :

${\begin{aligned}x&=\mathrm {R} \cos \varphi \\y&=\mathrm {R} \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$

il viendra :

$\sigma =f\left(\mathrm {R} ,z\right).$

D’autre part, le moment du tube doit demeurer constant par rapport au temps ; il en sera par conséquent de même de ${\tfrac {\sigma }{\mathrm {R} }}.$

109. Nous avons à trouver des fonctions $u,$ $v,$ $w$ qui satisfassent aux équations :

(1)

${\begin{aligned}2\xi &={\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\\2\eta &={\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\\2\zeta &={\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\\{\frac {du}{dx}}&+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0.\end{aligned}}$