Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/123

En remarquant que $\psi ,$ $\mu '$ et $\mu ''$ ne dépendent pas de $z,$ et qu’on doit intégrer entre $z=-l$ et $z=+l,$ cette expression s’écrit :

$l\int \psi \mu ''d\omega +l\int \psi \mu 'ds.$

Posons :

$\mathrm {P} =\int \psi \mu ''d\omega +\int \psi \mu 'ds.$

Le travail des forces électrostatiques sera représenté par :

$d\mathrm {T} =ld\mathrm {P} .$

104. Faisons le même calcul pour les forces $\mathrm {F} _{i}$ seules. La charge d’un petit cylindre est $\mu ''d\omega dz,$ et son potentiel

$\psi ''-\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}$

il vient donc :

${\begin{aligned}d\mathrm {T} &={\frac {1}{2}}d\int \left[\psi ''-\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}\right]\mu ''d\omega dz\\&={\frac {1}{2}}d\int \psi ''\mu ''d\omega dz-{\frac {1}{2}}d\int \mu ''d\omega \log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}dz\\&=ld\int \psi ''\mu ''d\omega -{\frac {1}{2}}\int \mu ''d\omega \int _{-l}^{+l}\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}dz,\end{aligned}}$

car $\mu ''$ ne depend pas de $z.$ Les deux dernières intégrales sont des constantes. En posant par conséquent :

$\mathrm {P} '=\int \psi ''\mu ''d\omega ,$

le travail des forces $\mathrm {F} _{i}$ aura pour expression ;

$ld\mathrm {P} '.$