Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/114

ficielle $\mu '$ sera telle que

$\int \mu 'ds={\frac {1}{2}},$

en appelant $s$ l’arc de la courbe $\mathrm {C} .$ Le potentiel a donc pour expression :

(10)

${\begin{aligned}\psi &=-2\int \mu 'ds\log \rho -2\int \mu ''d\omega \log \rho \\&=\psi '+\psi ''\end{aligned}}$

(en désignant par $\psi '$ la première intégrale, et par $\psi ''$ la seconde).

Il faut bien remarquer que $\psi '$ n’est pas le potentiel dû au cylindre $\mathrm {C}$ seul, et $\psi ''$ le potentiel dû au cylindre $\Omega$ seul, parce que les charges de ces cylindres considérés isolément ne sont plus nulles.

L'expression du potentiel de G serait [93] :

$-2\int \mu 'ds\log \rho +2\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}\int u'ds,$

ou :

$-\psi '+\log 2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}},$

et pour le cylindre $\Omega \ :$

$\psi ''-\log 2{\sqrt {l^{-}z^{2}}},$

en remarquant que $\textstyle \int \mu 'ds=+{\frac {1}{2}},$ et $\textstyle \int \mu ''d\omega =-{\frac {1}{2}}.$ Les composantes de la force électromotrice sont :

$v={\frac {d\psi }{dx}}\qquad u=-{\frac {d\psi }{dy}},$