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et l’équation

(8)

${\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}=2\zeta .$

La relation (1) exprime que $u$ et $v$ sont les dérivées d’une même fonction $\psi (x,y)$

${\begin{aligned}u=-{\frac {d\psi }{dy}}\quad v={\frac {d\psi }{dx}}\\vdx-udy=d\psi .\end{aligned}}$

Substituons ces valeurs de $u$ et $v$ dans (2), il vient :

$\Delta \psi =2\zeta .$

Par conséquent à l’extérieur de $\omega$

$\Delta \psi =0,$

et il y a une fonction des vitesses. La courbe $\mathrm {C}$ doit être une ligne de courant, c’est-à-dire que le long de cette ligne

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}},$

ou

${\frac {d\psi }{dx}}dx+{\frac {d\psi }{dy}}{dy}=d\psi =0.$

Le long de $\mathrm {C}$ on a donc

$\psi ={\text{const.}}$

Comme $\psi$ n’est défini que par ses dérivées, on peut toujours s’arranger de manière que cette constante soit nulle.

95. Remplaçons maintenant dans le tube $\omega$ chaque tube infiniment délié par une droite électrisée de longueur $2l,$ la