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CHAPITRE PREMIER

THÉORÈME DE HELMHOLTZ

1. Équations de l’hydrodynamique. — Soient $x_{0},y_{0},z_{0}$ les coordonnées d’une molécule de fluide à l’origine des temps $t=0\ ;\ x,y,z$ ses coordonnées au temps $t\ ;\ u,v,w$ les composantes de sa vitesse ; $\rho$ la densité du fluide, $p$ sa pression.

On peut prendre comme variables $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ $t,$ c’est le système de Lagrange, ou $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ c’est le système d’Euler. Dans ce qui suivra, j’adopterai les notations suivantes ; je désignerai par :

${\frac {du}{dt}},\quad {\frac {du}{dx_{0}}},\quad {\frac {du}{dy_{0}}},\quad {\frac {du}{dz_{0}}},$

les dérivées prises par rapport aux variables de Lagrange, et par :

${\frac {\partial u}{\partial t}},\quad {\frac {\partial u}{\partial x}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{0}}},\quad {\frac {\partial u}{\partial z_{0}}},$

les dérivées prises par rapport aux variables d’Euler.

Dans le système de Lagrange, $x,$ $y,$ $z$ sont fonctions de $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ $t.$

${\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {dy}{dt}}=v,\quad {\frac {dr}{dt}}=w$