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de $x'+{\sqrt {-1}}y'$ soit égal à l’unité en même temps que celui de $x+{\sqrt {-1}}y.$

Le point $\mathrm {O} ''$ conjugué de $\mathrm {O}$ a pour affixe : ${\tfrac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}\;;$ faisons :

$x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{x-{\sqrt {-1}}y-{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}}}{\frac {1}{\sqrt {a-{\sqrt {-1}}b}}}$

La condition :

$|x+{\sqrt {-1}}y|=1$

équivaut à :

$x^{2}+y^{2}=1,$

ou :

${\frac {1}{x-{\sqrt {-1}}y}}=x+{\sqrt {-1}}y.$

Donc, pour les points de la circonférence

$(x,y),$

nous pourrons écrire :

$x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{{\frac {1}{x-{\sqrt {-1}}y}}-{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}}}{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}$

ou :

$x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{x-{\sqrt {-1}}y-\left(a-{\sqrt {-1}}b\right)}}\left(x-{\sqrt {-1}}y\right){\frac {a+{\sqrt {-1}}b}{a-{\sqrt {-1}}b}}.$

Les deux fractions ont pour module l’unité, puisque leurs deux termes sont conjugués. Celui de $x-{\sqrt {-1}}y$ est égal à l’unité. Le module de $x'+{\sqrt {-1}}y'$se réduit donc à l’unité.

Si on fait :

$x+{\sqrt {-1}}y=a+{\sqrt {-1}}b,$