de
soit égal à l’unité en même temps que celui
de
Le point
conjugué de
a pour affixe :
faisons :
![{\displaystyle x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{x-{\sqrt {-1}}y-{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}}}{\frac {1}{\sqrt {a-{\sqrt {-1}}b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d95b6857eea56d7851614ff8f389979f62ba8f7)
La condition :
![{\displaystyle |x+{\sqrt {-1}}y|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7289e6005708383c03e8350c4db573ab9c0187)
équivaut à :
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf613d4a7485ac7b6ae29f066158d58b6bc2e719)
ou :
![{\displaystyle {\frac {1}{x-{\sqrt {-1}}y}}=x+{\sqrt {-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc633194ac0c3f096454f8e3845482bdc6f14be)
Donc, pour les points de la circonférence
![{\displaystyle (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4facf4be4b190ba97a34e73f2f761df72ec13313)
nous pourrons écrire :
![{\displaystyle x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{{\frac {1}{x-{\sqrt {-1}}y}}-{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}}}{\frac {1}{a-{\sqrt {-1}}b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c2ebecdf12ff7271d6295ef775abf342bc8eb8)
ou :
![{\displaystyle x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {x+{\sqrt {-1}}y-\left(a+{\sqrt {-1}}b\right)}{x-{\sqrt {-1}}y-\left(a-{\sqrt {-1}}b\right)}}\left(x-{\sqrt {-1}}y\right){\frac {a+{\sqrt {-1}}b}{a-{\sqrt {-1}}b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ff78c6cc0393dbdefcfde79b88102cd804373c)
Les deux fractions ont pour module l’unité, puisque leurs deux termes sont conjugués. Celui de
est égal à l’unité. Le module de
se réduit donc à l’unité.
Si on fait :
![{\displaystyle x+{\sqrt {-1}}y=a+{\sqrt {-1}}b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0f742abdf43520d61f9053289ca76ea4f8e30e)