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88. Considérons la variable complexe $x'+{\sqrt {-1}}y'\;:$ il peut arriver que $x'+{\sqrt {-1}}y'$ soit fonction de $x+{\sqrt {-1}}y.$ Dans ce cas les angles sont conservés et réciproquement. En effet, les conditions qui expriment ce fait sont :

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx'}{dx}}={\frac {dy'}{dy}}\\{\frac {dx'}{dy}}=y{\frac {dy'}{dx}}.\end{aligned}}$

Peut-on de cette manière faire la représentation conforme d’une courbe sur elle-même ?

Soit, par exemple, une circonférence :

1^o On peut la faire tourner autour de son centre ;

2^o Considérons un point $\mathrm {M}$ dans l’intérieur du cercle ; soient $(x,y)$ ses coordonnées : je puis y faire correspondre $M'(x',y')$ également intérieur à la circonférence, suivant une représentation conforme, de manière qu’au centre $\mathrm {O}$ corresponde un point $\mathrm {O} '$ quelconque à l’intérieur du cercle.

En effet, prenons le rayon de la circonférence pour unité. $\mathrm {M}$ a pour affixe la quantité imaginaire $x+{\sqrt {-1}}y,$ et l’équation de la circonférence est :

$|x+{\sqrt {-1}}y|={\text{const}}=1.$

Soit $a+{\sqrt {-1}}b$ l’affixe de $\mathrm {O} '.$ Considérons l’expression :

$x'+{\sqrt {-1}}y'={\frac {\alpha \left(x+{\sqrt {-1}}y\right)+\beta }{\gamma \left(x+{\sqrt {-1}}y\right)+\delta }}$

Je puis choisir : $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ de façon que $\mathrm {M} '$ décrive la circonférence en même temps que $\mathrm {M} ,$ c’est-à-dire que le module