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en supposant que etc. sont assujetties aux conditions suivantes et à celles qu’on en déduirait par symétrie :

(2)

Quant à l’intégrale elle doit être étendue :

1° par rapport à l’élément de volume à l’espace tout entier ;

2° par rapport au temps à l’intervalle compris entre les limites

D’après le principe de moindre action, l’intégrale doit être un minimum, si l’on assujettit les diverses quantités qui y figurent :

1° aux conditions (2) ;

2° à la condition que l’état du système soit déterminé aux deux époques limites

Cette dernière condition nous permet de transformer nos intégrales par intégration par parties par rapport au temps. Si nous avons en effet une intégrale de la forme


est une des quantités qui définissent l’état du système et sa variation, elle sera égale (en intégrant par parties par rapport au temps) :

Comme l’état du système est déterminé aux deux époques limites, on a pour donc la 1ère intégrale qui se rapporte à ces deux époques est nulle, et la 2de subsiste seule.

Nous pouvons de même intégrer par parties par rapport à ou nous avons en effet

Nos intégrations s’étendant jusqu’à l’infini, il faut faire dans la 1ère intégrale du 2de membre ; donc, comme nous supposons toujours que toutes nos fonctions s’annulent à l’infini, cette intégrale sera nulle et il viendra

Si le système était supposé soumis à des liaisons, il faudrait adjoindre ces conditions de liaison aux conditions imposées aux diverses quantités qui figurent dans l’intégrale

Donnons d’abord à des accroissements d’où :