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en supposant que , , , , etc. sont assujetties aux conditions suivantes et à celles qu’on en déduirait par symétrie :

(2)

Quant à l’intégrale elle doit être étendue :

1° par rapport à l’élément de volume à l’espace tout entier ;

2° par rapport au temps , à l’intervalle compris entre les limites , .

D’après le principe de moindre action, l’intégrale doit être un minimum, si l’on assujettit les diverses quantités qui y figurent :

1° aux conditions (2) ;

2° à la condition que l’état du système soit déterminé aux deux époques limites , .

Cette dernière condition nous permet de transformer nos intégrales par intégration par parties par rapport au temps. Si nous avons en effet une intégrale de la forme

,


est une des quantités qui définissent l’état du système et sa variation, elle sera égale (en intégrant par parties par rapport au temps):

Comme l’état du système est déterminé aux deux époques limites, on a pour , ; donc la 1ère intégrale qui se rapporte à ces deux époques est nulle, et la 2de subsiste seule.

Nous pouvons de même intégrer par parties par rapport à , ou  ; nous avons en effet

.

Nos intégrations s’étendant jusqu’à l’infini, il faut faire dans la 1ère intégrale du 2de membre ; donc, comme nous supposons toujours que toutes nos fonctions s’annulent à l’infini, cette intégrale sera nulle et il viendra

Si le système était supposé soumis à des liaisons, il faudrait adjoindre ces conditions de liaison aux conditions imposées aux diverses quantités qui figurent dans l’intégrale .

Donnons d’abord à , , des accroissements , ,  ; d’où :

.