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Il est aisé de voir que :

${\frac {d}{dt^{\prime }}}={\frac {k}{l}}\left({\frac {d}{dt}}-\epsilon {\frac {d}{dx}}\right),\quad {\frac {d}{dx^{\prime }}}={\frac {k}{l}}\left({\frac {d}{dx}}-\epsilon {\frac {d}{dt}}\right),\quad {\frac {d}{dy^{\prime }}}={\frac {1}{l}}{\frac {d}{dy}},\quad {\frac {d}{dz^{\prime }}}={\frac {1}{l}}{\frac {d}{dz}}$

et on en conclut :

(9)

${\begin{cases}f^{\prime }={\frac {1}{l^{2}}}f,\ g^{\prime }={\frac {k}{l^{2}}}(g+\epsilon \gamma ),\ h^{\prime }={\frac {k}{l^{2}}}(h-\epsilon \beta ),\\\\\alpha ^{\prime }={\frac {1}{l^{2}}}\alpha ,\quad \beta ^{\prime }={\frac {k}{l^{2}}}(\beta -\epsilon h),\quad \gamma ^{\prime }={\frac {k}{l^{2}}}(\gamma +\epsilon g).\end{cases}}$

Ces formules sont identiques à celles de Lorentz.

Notre transformation n’altère pas les équations (1). En effet, la condition de continuité, ainsi que les équations (6) et (8), nous fournissent déjà quelques-unes des équations (1) (sauf l’accentuation des lettres).

Les équations (6) rapprochées de la condition de continuité donnent :

(10)

${\frac {d\psi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+\sum {\frac {dF^{\prime }}{dx^{\prime }}}=0.$

Il reste à établir que :

${\frac {df^{\prime }}{dt^{\prime }}}+\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }={\frac {d\gamma ^{\prime }}{dy^{\prime }}}-{\frac {d\beta ^{\prime }}{dz^{\prime }}},\quad {\frac {dz^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {dg^{\prime }}{dz^{\prime }}}-{\frac {dh^{\prime }}{dy^{\prime }}},\quad \sum {\frac {df^{\prime }}{dx^{\prime }}}=\rho ^{\prime }$

et l’on voit aisément que ce sont des conséquences nécessaires des équations (6), (8) et (10).

Nous devons maintenant comparer les forces avant et après la transformation.

Soient $X,\ Y,\ Z$ la force avant, et $X',\ Y',\ Z'$ la force après la transformation, toutes deux rapportées à l’unité de volume. Pour que $X'$ satisfasse aux mêmes équations qu’avant la transformation, on doit avoir :

${\begin{array}{l}X^{\prime }=\rho ^{\prime }f^{\prime }+\rho ^{\prime }(\eta ^{\prime }\gamma ^{\prime }-\zeta ^{\prime }\beta ^{\prime }),\\Y^{\prime }=\rho ^{\prime }g^{\prime }+\rho ^{\prime }(\zeta ^{\prime }\alpha ^{\prime }-\xi ^{\prime }\gamma ^{\prime }),\\X^{\prime }=\rho ^{\prime }h^{\prime }+\rho ^{\prime }(\xi ^{\prime }\beta ^{\prime }-\eta ^{\prime }\alpha ^{\prime }),\end{array}}$

ou, en remplaçant toutes les quantités par leurs valeurs (4), (4^bis) et (9) et tenant compte des équations (2) :

(11)

${\begin{cases}X^{\prime }={\frac {k}{l^{5}}}(X+\epsilon \sum X\xi ),\\\\Y^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}Y,\\\\Z^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}Z.\end{cases}}$

Si nous représentions par $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}$ les composantes de la force rapportée, non plus à l’unité de volume, mais à l’unité de charge électrique de l’électron, et par $X'_{1},\ Y'_{1},\ Z'_{1}$ les mêmes quantités après la transformation, nous aurions :

$X_{1}=f+\eta \gamma -\zeta \beta ,\quad X_{1}^{\prime }=f^{\prime }+\eta ^{\prime }\gamma ^{\prime }-\zeta ^{\prime }\beta ^{\prime },\quad X=\rho X_{1},\quad X^{\prime }=\rho ^{\prime }X_{1}^{\prime }$