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par $-r\xi _{1},$ ce qui donne :

$X_{1}=\alpha \left(x+\xi _{1}r\right)=\alpha x_{1}.$

La loi de Newton donnerait

$X_{1}=-{\frac {x_{1}}{r_{1}^{3}}}.$

Nous devons donc choisir, pour l’invariant $\alpha ,$ celui qui se réduit à $-{\frac {1}{r_{1}^{3}}}$ à l’ordre d’approximation adopté, c’est-à-dire ${\frac {1}{B^{3}}}.$ Les équations (9) deviendront :

(11)

${\begin{cases}X_{1}={\frac {x}{k_{0}B^{3}}}-\xi _{1}{\frac {k_{1}}{k_{0}}}{\frac {A}{B^{3}C}},\\\\Y_{1}={\frac {y}{k_{0}B^{3}}}-\eta _{1}{\frac {k_{1}}{k_{0}}}{\frac {A}{B^{3}C}},\\\\Z_{1}={\frac {z}{k_{0}B^{3}}}-\zeta _{1}{\frac {k_{1}}{k_{0}}}{\frac {A}{B^{3}C}},\\\\T_{1}=-{\frac {r}{k_{0}B^{3}}}-{\frac {k_{1}}{k_{0}}}{\frac {A}{B^{3}C}}.\end{cases}}$

Nous voyons d’abord que l’attraction corrigée se compose de deux composantes ; l’une parallèle au vecteur qui joint les positions des deux corps, l’autre parallèle à la vitesse du corps attirant.

Rappelons que quand nous parlons de la position ou de la vitesse du corps attirant, il s’agit de sa position ou de sa vitesse au moment où l’onde gravifique le quitte ; pour le corps attiré, au contraire, il s’agit de sa position ou de sa vitesse du moment où l’onde gravifique l’atteint, cette onde étant supposée se propager avec la vitesse de la lumière.

Je crois qu’il serait prématuré de vouloir pousser plus loin la discussion de ces formules ; je me bornerai donc à quelques remarques.

1^o Les solutions (11) ne sont pas uniques ; on peut, en effet, remplacer ${\frac {1}{B^{3}}},$ qui entre en facteur partout, par

${\frac {1}{B^{3}}}+(C-1)f_{1}(A,B,C)+(A-B)^{2}f_{2}(A,B,C),$

$f_{1}$ et $f_{2}$ étant des fonctions arbitraires de $A,B,C,$ ou encore ne plus prendre $\beta$ nul, mais ajouter à $\alpha ,\beta ,\gamma$ des termes complémentaires quelconques, pourvu qu’ils satisfassent à la condition (10) et qu’ils soient du 2^d ordre par rapport aux $\xi ,$ en ce qui concerne $\alpha ,$ et du 1^er ordre en ce qui concerne $\beta$ et $\gamma .$

2^o La 1^er équation (11) peut s’écrire :

(11bis)

$X_{1}{\frac {k_{1}}{B^{3}C}}\left[x\left(1-\sum \xi \xi _{1}\right)+\xi _{1}\left(r+\sum x\xi \right)\right]$

et la quantité entre crochets peut, elle-même, s’écrire :

(12)

$\left(x+r\xi _{1}\right)+\eta \left(\xi _{1}y-x\eta _{1}\right)+\zeta \left(\xi _{1}z-x\zeta _{1}\right),$