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leur déduite de la loi de Newton, et quand ils sont en repos relatif, la valeur déduite des équations (4).

Dans l’hypothèse du repos absolu, les deux premiers invariants (7) doivent se réduire à

$\sum X_{1}^{2},\quad \sum X_{1}x,$

ou, par la loi de Newton, à

${\frac {1}{r^{4}}},\quad -{\frac {1}{r}}\,;$

d’autre part, dans l’hypothèse (A), le 2^d et le 3^e des invariants (5) deviennent :

${\frac {-r-\sum x\xi }{\sqrt {1-\sum \xi ^{2}}}},\quad {\frac {-r-\sum x\xi _{1}}{\sqrt {1-\sum \xi _{1}^{2}}}},$

c’est-à-dire, pour le repos absolu, à

$-r,\ -r.$

Nous pouvons donc admettre par exemple que les deux premiers invariants (4) se réduisent à

${\frac {\left(1-\sum x\xi _{1}^{2}\right)^{2}}{\left(r+\sum x\xi _{1}\right)^{4}}},\quad -{\frac {\sqrt {1-\sum \xi _{1}^{2}}}{r+\sum x\xi _{1}}}\,;$

mais d’autres combinaisons sont possibles.

Il faut faire un choix entre ces combinaisons, et, d’autre part, pour définir $X_{1},Y_{1},Z_{1},$ il nous faut une 3^e équation. Pour un pareil choix, nous devons nous efforcer de nous rapprocher autant que possible de la loi de Newton. Voyons donc ce qui se passe quand (faisant toujours $t=-r$) on néglige les carrés des vitesses $\xi ,\ \eta ,$ etc. Les 4 invariants (5) deviennent alors :

$0,\quad -r-\sum x\xi ,\quad -r-\sum x\xi _{1},\quad 1$

et les 4 invariants (7) :

$\sum X_{1}^{2},\quad \sum X_{1}(x+\xi r),\quad \sum X_{1}\left(\xi _{1}-\xi \right),\quad 0.$

Mais pour pouvoir comparer avec la loi de Newton, une autre transformation est nécessaire ; ici $x_{0}+x,\ y_{0}+y,\ z_{0}+z$ représentent les coordonnées du corps attirant à l’instant $t_{0}+t,$ et $r={\sqrt {\sum x^{2}}}\ ;$ dans la loi de Newton il faut envisager les coordonnées $x_{0}+x_{1},\ y_{0}+y_{1},\ z_{0}+z_{1}$ du corps attirant à l’instant $t_{0},$ et la distance $r_{1}={\sqrt {\sum x_{1}^{2}}}.$

Nous pouvons négliger le carré du temps $t$ nécessaire à la propagation et par conséquent faire comme si le mouvement était uniforme ; nous avons alors :

$x=x_{1}+\xi _{1}t,\quad y=y_{1}+\eta _{1}t,\quad z=z_{1}+\zeta _{1}t,\quad r\left(r-r_{1}\right)=\sum x\xi _{1}t\ ;$