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$Q\ ;$ alors les invariants seront les fonctions des distances mutuelles des cinq points

$0,\ P,\ P',\ P'',\ Q$

et parmi ces fonctions nous devons conserver seulement celles qui sont homogènes de degré 0, d’une part par rapport à

$X,\ Y,\ Z,\ T,\ \delta x,\ \delta y,\ \delta z,\ \delta t$

(variables que l’on peut remplacer ensuite par $X_{1},Y_{1},Z_{1},T_{1},\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},1$), d’autre part par rapport à

$\delta _{1}x,\ \delta _{1}y,\ \delta _{1}z,\ 1$

(variables que l’on peut remplacer ensuite par $\xi _{1},\ \eta _{1},\ \zeta _{1},\ 1.$)

Nous trouvons ainsi outre les quatre invariants (5), quatre invariants distincts nouveaux, qui sont :

(7)

${\frac {\sum X_{1}^{2}-T_{1}^{2}}{1-\sum \xi ^{2}}},\quad {\frac {\sum X_{1}x-T_{1}t}{\sqrt {1-\sum \xi ^{2}}}},\quad {\frac {\sum X_{1}\xi _{1}-T_{1}}{{\sqrt {1-\sum \xi ^{2}}}{\sqrt {1-\sum \xi _{1}^{2}}}}},\quad {\frac {\sum X_{1}\xi -T_{1}}{1-\sum \xi ^{2}}}.$

Le dernier invariant est toujours nul, d’après la definition de $T_{1}.$

Cela posé, quelles sont les conditions à remplir ?

1^o Le premier membre de la relation (1), qui définit la vitesse de propagation, doit être une fonction des 4 invariants (5).

On peut faire évidemment une foule d’hypothèses ; nous n’en examinerons que deux :

A) On peut avoir

$\sum x^{2}-t^{2}=r^{2}-t^{2}=0,$

d’où $t=\pm r,$ et, puisque $t$ doit être négatif, $t=-r$. Cela veut dire que la vitesse de propagation est égale à celle de la lumière. Il semble d’abord que cette hypothèse doive être rejetée sans examen. Laplace a montré en effet que cette propagation est, ou bien instantanée, ou beaucoup plus rapide que celle de la lumière. Mais Laplace avait examiné l’hypothèse de la vitesse finie de propagation, ceteris non mutatis ; ici, au contraire, cette hypothèse est compliquée de beaucoup d’autres, et il peut se faire qu’il y ait entre elles une compensation plus ou moins parfaite, comme celles dont les applications de la transformation de Lorentz nous ont déjà donné tant d’exemples.

B) On peut avoir

${\frac {t-\sum x\xi _{1}}{\sqrt {1-\sum \xi _{1}^{2}}}}=0,\quad t=\sum x\xi .$

La vitesse de propagation est alors beaucoup plus rapide que celle de la lumière ; mais dans certains cas $t$ pourrait être négatif, ce qui, comme nous l’avons dit, ne paraît guère admissible. Nous nous en tiendrons donc à l’hypothèse (A).

2^o Les quatre invariants (7) doivent être des fonctions des invariants (5).

3^o Quand les deux corps sont en repos absolu $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ doivent avoir la va-