Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/36

Cette page a été validée par deux contributeurs.


§ 8. — Mouvement quelconque.

Les résultats précédents ne s’appliquent qu’au mouvement quasi-stationnaire, mais il est aisé de les étendre au cas général ; il suffit d’appliquer les principes du § 3, c’est-à-dire de partir du principe de moindre action.

À l’expression de l’action :


il convient d’ajouter un terme, représentant le potentiel supplémentaire du § 6 ; ce terme prendra évidemment la forme :


représente la somme des potentiels supplémentaires dus aux différents électrons, chacun d’eux étant proportionnel au volume de l’électron correspondant.

J’écris entre parenthèses pour ne pas confondre avec le vecteur

L’action totale est alors Nous avons vu au § 3 que n’est pas altéré par la transformation de Lorentz ; il faut montrer maintenant qu’il en est de même de

On a, pour l’un des électrons,


étant un coefficient spécial à l’électron et son volume ; je puis donc écrire :


l’intégrale devant être étendue à tout l’espace, mais de telle façon que le coefficient soit nul en dehors des électrons, et qu’à l’intérieur de chaque électron il soit égal au coefficient spécial à cet électron. On a alors :


et après la transformation de Lorentz :

Or on a car si un point appartient à un électron, le point correspondant après la transformation de Lorentz appartient encore au même électron. D’autre part, nous avons trouvé au § 3 :


et, puisque nous supposons maintenant