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§ 8. — Mouvement quelconque.

Les résultats précédents ne s’appliquent qu’au mouvement quasi-stationnaire, mais il est aisé de les étendre au cas général ; il suffit d’appliquer les principes du § 3, c’est-à-dire de partir du principe de moindre action.

À l’expression de l’action :

$J=\int dt\ d\tau \left({\frac {\sum f^{2}}{2}}-{\frac {\sum \alpha ^{2}}{2}}\right),$

il convient d’ajouter un terme, représentant le potentiel supplémentaire $F$ du § 6 ; ce terme prendra évidemment la forme :

$J_{1}=\int \sum (F)dt,$

où $\sum (F)$ représente la somme des potentiels supplémentaires dus aux différents électrons, chacun d’eux étant proportionnel au volume de l’électron correspondant.

J’écris $(F)$ entre parenthèses pour ne pas confondre avec le vecteur $F,\ G,\ H.$

L’action totale est alors $J+J_{1}.$ Nous avons vu au § 3 que $J$ n’est pas altéré par la transformation de Lorentz ; il faut montrer maintenant qu’il en est de même de $J_{1}.$

On a, pour l’un des électrons,

$(F)=\omega _{0}\tau ,$

$\omega _{0}$ étant un coefficient spécial à l’électron et $\tau$ son volume ; je puis donc écrire :

$\sum (F)=\int \omega _{0}d\tau ,$

l’intégrale devant être étendue à tout l’espace, mais de telle façon que le coefficient $\omega _{0}$ soit nul en dehors des électrons, et qu’à l’intérieur de chaque électron il soit égal au coefficient spécial à cet électron. On a alors :

$J_{1}=\int \omega _{0}d\tau \ dt$

et après la transformation de Lorentz :

$J_{1}^{\prime }=\int \omega _{0}^{\prime }d\tau ^{\prime }\ dt^{\prime }.$

Or on a $\omega _{0}=\omega _{0}^{\prime }\,;$ car si un point appartient à un électron, le point correspondant après la transformation de Lorentz appartient encore au même électron. D’autre part, nous avons trouvé au § 3 :

$d\tau ^{\prime }dt^{\prime }=l^{4}d\tau \ dt$

et, puisque nous supposons maintenant $l=1,$

$d\tau 'dt'=d\tau \ dt.$