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ou, en posant

${\frac {\varphi (\xi )}{f(\xi )}}=\Omega (\xi )={\frac {D}{V{\frac {dD}{dV}}}},$

celle-ci :

$\Omega \left({\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }}\right)=\Omega (\xi ){\frac {1+\epsilon ^{2}}{(1+\xi \epsilon )^{2}}},$

équation qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs de $\xi$ et de $\epsilon .$ Pour $\zeta =0$ on trouve :

$\Omega (\epsilon )=\Omega (0)\left(1-\epsilon ^{2}\right),$

d’où :

$D=A\left({\frac {V}{\sqrt {1-V^{2}}}}\right)^{m},$

$A$ étant une constante, et où j’ai fait $\Omega (0)={\frac {1}{m}}.$

On trouve alors :

$\varphi (\xi )={\frac {A}{\xi }}\left({\frac {\xi }{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}\right)^{m},\quad \varphi (\xi ^{\prime })={\frac {A\mu }{\xi +\epsilon }}\left({\frac {\xi +\epsilon }{{\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}\right)^{m}.$

Or $\varphi (\xi ^{\prime })=\varphi (\xi ){\frac {k\mu }{l^{2}}}\,;$ donc on a :

$(\xi +\epsilon )^{m-1}\left(1-\epsilon ^{2}\right)^{-{\frac {m}{2}}}=-\xi ^{m-1}\left(1-\epsilon ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}l^{-2}.$

Comme $l$ ne doit dépendre que de $\epsilon$ (puisque, s’il y a plusieurs électrons, $l$ doit être le même pour tous les électrons dont les vitesses $\xi$ peuvent être différentes), cette identité ne peut avoir lieu que si l’on a :

$m=1,\ l=1.$

Ainsi l’hypothèse de Lorentz est la seule qui soit compatible avec l’impossibilité de mettre en évidence le mouvement absolu ; si on admet cette impossibilité, il faut admettre que les électrons en mouvement se contractent de façon à devenir des ellipsoïdes de révolution dont deux des axes demeurent constants ; il faut donc admettre, comme nous l’avons montré au § précédent, l’existence d’un potentiel supplémentaire proportionnel au volume de l’électron.

L’analyse de Lorentz se trouve donc pleinement confirmée, mais nous pouvons mieux nous rendre compte de la vraie raison du fait qui nous occupe ; cette raison doit être cherchée dans les considérations du § 4. Les transformations qui n’altèrent pas les équations du mouvement doivent former un groupe, et cela ne peut avoir lieu que si $l=1.$ Comme nous ne devons pas pouvoir reconnaître si un électron est en repos ou en mouvement absolu, il faut que quand il est en mouvement il subisse une déformation qui doit être précisément celle que lui impose la transformation correspondante du groupe.