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En différentiant, il vient :

$-\epsilon \varphi ^{\prime }\left(1-{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)={\frac {2}{3}}\epsilon a.$

Pour $\epsilon =0,$ c’est-à-dire quand l’argument de $\varphi$ est égal à $1,$ ces équations deviennent :

(7)

$\varphi =a,\quad \varphi ^{\prime }=-{\frac {2}{3}}a,\quad {\frac {\varphi ^{\prime }}{\varphi }}=-{\frac {2}{3}}.$

On doit donc avoir $m=-{\frac {2}{3}}$ conformément à l’hypothèse de Langevin.

Ce résultat doit être rapproché de celui qui est relatif à la 1^ère équation (2) et dont en réalité il ne diffère pas. En effet, supposons que tout élément $d\tau$ de l’électron soit soumis à une force $Xd\tau$ parallèle à l’axe des $x,$ $X$ étant le même pour tous les éléments ; nous aurons alors, conformément à la définition de la quantité de mouvement :

${\frac {dD}{dt}}=\int Xd\tau .$

D’autre part, le principe de moindre action nous donne :

$\delta J=\int X\delta U\ d\tau \ dt,\quad J=\int H\ dt,\quad \delta J=\int D\delta Ud\tau dt,$

$\delta U$ étant le déplacement du centre de gravité de l’électron ; $H$ dépend de $\theta$ et de $\epsilon ,$ si l’on admet que $r$ est lié à $\theta$ par l’équation de liaison ; on a alors :

$\delta J=\int \left({\frac {\partial H}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon +{\frac {\partial H}{\partial \theta }}\delta \theta \right)dt.$

D’autre part $\delta \epsilon =-{\frac {d\delta U}{dt}}\,;$ d’où, en intégrant par parties :

$\int D\delta \epsilon \ dt=\int D\delta Udt,$

ou

$\int \left({\frac {\partial H}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon +{\frac {\partial H}{\partial \theta }}\delta \theta \right)dt=\int D\delta \epsilon dt\,;$

d’où

$D={\frac {\partial H}{\partial \epsilon }},\quad {\frac {\partial H}{\partial \theta }}=0.$

Mais la dérivée ${\frac {dH}{d\epsilon }}$, qui figure dans le 2^d membre de la 1^ère équation (2), c’est la dérivée prise en supposant $\theta$ exprimé en fonction de $\epsilon ,$ de sorte que

${\frac {dH}{d\epsilon }}={\frac {\partial H}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial H}{\partial \theta }}{\frac {d\theta }{d\epsilon }}.$

L’équation (2) équivaut donc à l’équation (6).

La conclusion est que si l’électron est soumis à une liaison entre ses trois axes,