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Cela est en contradiction avec le résultat du § 4 et avec le résultat obtenu par Lorentz par une autre voie. C’est cette contradiction qu’il s’agit d’expliquer.

Avant d’aborder cette explication, j’observe que, quelle que soit l’hypothèse adoptée nous aurons

$H=A+B-C={\frac {l}{k}}(A^{\prime }+B^{\prime }),$

ou, à cause de $C^{\prime }=0,$

(3)

$H={\frac {l}{k}}H^{\prime },$

Nous pouvons rapprocher ce résultat de l’équation $J=J^{\prime }$ obtenue au § 3.

Nous avons en effet :

$J=\int H\ dt,\quad J^{\prime }=\int H^{\prime }\ dt^{\prime }.$

Nous observerons que l’état du système dépend seulement de $x+\epsilon t,$ $y$ et $z,$ c’est-à-dire de $x^{\prime },$ $y^{\prime },$ $z^{\prime },$ et que nous avons :

$t^{\prime }={\frac {l}{k}}t+\epsilon x^{\prime },$

(4)

$dt^{\prime }={\frac {l}{k}}dt.$

En rapprochant les équations (3) et (4) on trouve $J=J^{\prime }.$

Plaçons-nous dans une hypothèse quelconque, qui pourra être, soit celle de Lorentz soit celle d’Abraham, soit celle de Langevin, soit une hypothèse intermédiaire.

Soient

$r,\ \theta r,\ \theta r$

les trois axes de l’électron réel ; ceux de l’électron idéal seront :

$klr,\ \theta lr,\ \theta lr.$

Alors $A^{\prime }+B^{\prime }$ sera l’énergie électrostatique due à un ellipsoïde ayant pour axes $klr,$ $\theta lr,$ $\theta lr.$

Que l’on suppose l’électricité répandue à la surface de l’électron connue à celle d’un conducteur, ou uniformément répandue à l’intérieur de cet électron ; cette énergie sera de la forme :

$A^{\prime }+B^{\prime }={\frac {\varphi \left({\frac {\theta }{k}}\right)}{klr}},$

où $\phi$ est une fonction connue.

L’hypothèse d’Abraham consiste à supposer :

$r={\text{const.}},\ \theta =1.$

Celle de Lorentz :

$l=1,\ kr={\text{const.}},\ \theta =k.$