Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/25

l’énergie électrique transversale ; par

$C={\frac {1}{2}}\int \left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)d\tau$

l’énergie magnétique transversale. Il n’y a pas d’énergie magnétique longitudinale, puisque $\alpha =\alpha ^{\prime }=0.$ Désignons par $A^{\prime },$ $B^{\prime },$ $C^{\prime }$ les quantités correspondantes dans le système idéal. On trouve d’abord :

$C^{\prime }=0,\ C=\epsilon ^{2}B.$

D’autre part, nous pouvons observer que le champ réel dépend seulement de $x+\epsilon t,$ $y,$ et $z,$ et écrire :

$d\tau =d(x+\epsilon t)dy\ dz,$ $d\tau ^{\prime }=dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }=kl^{3}d\tau \,;$

d’où

$A^{\prime }=kl^{-1}A,\quad B^{\prime }=k^{-1}l^{-1}B,\quad A={\frac {lA^{\prime }}{k}},\quad B=klB^{\prime }.$

Dans l’hypothèse de Lorentz on a $B^{\prime }=2A^{\prime },$ et $A^{\prime },$ inversement proportionnel au rayon de l’électron, est une constante indépendante de la vitesse de l’électron réel ; on trouve ainsi pour l’énergie totale :

$A+B+C=A^{\prime }lk\left(3+\epsilon ^{2}\right)$

et pour l’action (par unité de temps) :

$A+B-C={\frac {3A^{\prime }l}{k}}.$

Calculons maintenant la quantité de mouvement électromagnétique ; nous trouverons :

$D=\int \left(g\gamma -h\beta \right)d\tau =-\epsilon \int \left(g^{2}+h^{2}\right)d\tau =-2\epsilon B=-4\epsilon klA^{\prime }.$

Mais on doit avoir certaines relations entre l’énergie $E=A+B+C,$ l’action par unité de temps $H=A+B-C,$ et la quantité de mouvement $D.$ La première de ces relations est :

$E=H-\epsilon {\frac {dH}{d\epsilon }},$

la seconde est

${\frac {dD}{d\epsilon }}=-{\frac {1}{\epsilon }}{\frac {dE}{d\epsilon }}\,;$

d’où :

(2)

$D={\frac {dH}{d\epsilon }},\quad E=H-\epsilon D.$

La seconde des équations (2) est toujours satisfaite ; mais la première ne l’est que si

$l=\left(1-\epsilon ^{2}\right)^{\frac {1}{6}}=k^{-{\frac {1}{3}}},$

c’est-à-dire si le volume de l’électron idéal est égal à celui de l’électron réel, ou encore si le volume de l’électron est constant ; c’est l’hypothèse de Langevin.