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Ils s’annulent donc en vertu des équations $\sum f\left(x-x_{1}\right)=\sum \alpha \left(x-x_{1}\right)=0$ et en vertu des équations (6). Or c’est là précisément ce qu’il s’agissait de démontrer.

On peut d’ailleurs arriver au même résultat par de simples considérations d’homogénéité.

En effet, $\psi ,$ $F,$ $G,$ $H$ sont des fonctions de $x-x_{1},$ $y-y_{1},$ $z-z_{1},$ $\xi _{1}={\frac {dx_{1}}{dt_{1}}},$ $\eta _{1}={\frac {dy_{1}}{dt_{1}}},$ $\zeta _{1}={\frac {dz_{1}}{dt_{1}}}$ homogènes de degré $-1$ par rapport à $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ $x_{1},$ $y_{1},$ $z_{1},$ $t_{1}$ et à leurs différentielles.

Donc les dérivées de $\psi ,$ $F,$ $G,$ $H$ par rapport à $x,$ $y,$ $z,$ $t$ (et par conséquent aussi les deux champs $f,\ g,\ h\,;$ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$) seront homogènes de degré $-2$ par rapport aux mêmes quantités, si nous nous rappelons d’ailleurs que la relation

$t-t_{1}=r={\sqrt {\sum \left(x-x_{1}\right)^{2}}}$

est homogène par rapport à ces quantités.

Or ces dérivées ou ces champs dépendent des $x-x_{1},$ des vitesses ${\frac {dx_{1}}{dt_{1}}},$ et des accélérations ${\frac {d^{2}x_{1}}{dt_{1}^{2}}}\,;$ ils se composent d’un terme indépendant des accélérations (onde de vitesse) et d’un terme linéaire par rapport aux accélérations (onde d’accélération). Or ${\frac {dx_{1}}{dt_{1}}}$ est homogène de degré $0$ et ${\frac {d^{2}x_{1}}{dt_{1}^{2}}}$ homogène de degré $-1\,;$ d’où il suit que l’onde de vitesse est homogène de degré $-2$ par rapport à $x-x_{1}$, $y-y_{1}$, $z-z_{1},$ et l’onde d’accélération homogène de degré $-1.$ Donc, en un point très éloigné l’onde d’accélération est prépondérante et peut par conséquent être regardée comme se confondant avec l’onde totale. De plus, la loi d’homogénéité nous montre que l’onde d’accélération est semblable à elle-même en un point éloigné et en un point quelconque. Elle est donc, en un point quelconque, semblable à l’onde totale en un point éloigné. Or en un point éloigné la perturbation ne peut se propager que par ondes planes, de sorte que les deux champs doivent être égaux, perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.

Je me bornerai à renvoyer pour plus de détails au Mémoire de M. Langevin dans le Journal de Physique (Année 1905).

§ 6. — Contraction des Électrons.

Supposons un électron unique animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme. D’après ce que nous venons de voir, on peut, grâce à la transformation de Lorentz, ramener l’étude du champ déterminé par cet électron au cas où l’électron serait immobile ; la transformation de Lorentz remplace donc l’électron réel en mouvement par un électron idéal immobile.

Soit $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma \,;$ $f,\ g,\ h$ le champ réel ; soit $\alpha ^{\prime },\ \beta ^{\prime },\ \gamma ^{\prime }\,;$ $f^{\prime },\ g^{\prime },\ h^{\prime }$ ce que devient le