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Je dis que ces trois propriétés subsisteront encore quand la vitesse ne sera pas nulle, et pour cela, il me suffit de montrer qu’elles ne sont pas altérées par la transformation de Lorentz.

Soit en effet $A$ l’intensité commune des deux champs, soit

$(x-x_{1})=r\lambda ,\quad (y-y_{1})=r\mu ,\quad (z-z_{1})=r\nu ,\quad \lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1.$

Ces propriétés s’exprimeront par les égalités :

$A^{2}=\sum f^{2}=\sum \alpha ^{2},\quad \sum f\alpha =0,\quad \sum f\left(x-x_{1}\right)=0,\quad \sum \alpha \left(x-x_{1}\right)=0,$ $\sum f\lambda =0,\quad \sum \alpha \lambda =0\,;$

ce qui veut dire encore que

${\begin{array}{ccccc}\displaystyle {\frac {b}{A}},&\displaystyle {\frac {g}{A}},&\displaystyle {\frac {h}{A}}\\[8px]\displaystyle {\frac {\alpha }{A}},&\displaystyle {\frac {\beta }{A}},&\displaystyle {\frac {\gamma }{A}}\\[8px]\displaystyle \lambda ,&\displaystyle \mu ,&\displaystyle \nu \end{array}}$

sont les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires, et on en déduit les relations :

$f=\beta \nu -\gamma \mu ,\quad \alpha =h\mu -g\nu ,$

ou

(6)

$fr=\beta \left(z-z_{1}\right)-\gamma \left(y-y_{1}\right)\quad \alpha r=h\left(y-y_{1}\right)-g\left(z-z_{1}\right),$

avec les équations que l’on en peut déduire par symétrie.

Si nous reprenons les équations (3) du § 1, nous trouvons :

(7)

${\begin{cases}x^{\prime }-x_{1}^{\prime }=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon \left(t-t_{1}\right)\right]=kl\left[\left(x-x_{1}\right)+\epsilon r\right],\\\\y^{\prime }-y_{1}^{\prime }=l\left(y-y_{1}\right),\\\\z^{\prime }-z_{1}^{\prime }=l\left(z-z_{1}\right).\end{cases}}$

Nous avons trouvé plus haut au § 3 :

$l^{4}\left(\sum f^{\prime 2}-\sum \alpha ^{\prime 2}\right)=\sum f^{2}-\sum \alpha ^{2}.$

Donc $\sum f^{2}=\sum \alpha ^{2}$ entraîne $\sum f^{\prime 2}=\sum \alpha ^{\prime 2}.$

D’autre part, en partant des équations (9) du § 1, on trouve :

$l^{4}\sum f^{\prime }\alpha ^{\prime }=\sum f\alpha ,$

ce qui montre que $\sum f\alpha =0$ entraîne $\sum f^{\prime }\alpha ^{\prime }=0.$

Je dis maintenant que

(8)

$\sum f^{\prime }\left(x^{\prime }-x_{1}^{\prime }\right)=0,\quad \sum \alpha ^{\prime }\left(x^{\prime }-x_{1}^{\prime }\right)=0.$

En effet, en vertu des équations (7) (ainsi que des équations 9 du § 1) les premiers membres des deux équations (8) s’écrivent respectivement :

${\frac {k}{l}}\sum f\left(x-x_{1}\right)+{\frac {k\epsilon }{l}}\left[fr+\gamma \left(y-y_{1}\right)-\beta \left(z-z_{1}\right)\right],$ ${\frac {k}{l}}\sum \alpha \left(x-x_{1}\right)+{\frac {k\epsilon }{l}}\left[\alpha r-h\left(y-y_{1}\right)+g\left(z-z_{1}\right)\right].$