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et nous prendrons $\epsilon =-\xi ,$ de telle façon que

$\xi '_{1}=\eta '_{1}=\zeta '_{1}=0.$

Nous pouvons donc ramener le calcul des deux ondes au cas où la vitesse de l’électron est nulle. Commençons par l’onde de vitesse ; nous pouvons remarquer d’abord que cette onde est la même que si le mouvement de l’électron était uniforme.

Si la vitesse de l’électron est nulle, on a :

$\omega =0,\quad F=G=H=0,\quad \psi ={\frac {\mu _{1}}{4\pi r}},$

$\mu _{1}$ étant la charge électrique de l’électron. La vitesse ayant été ramenée à zéro par la transformation de Lorentz, nous avons donc :

$F^{\prime }=G^{\prime }=H^{\prime }=0,\quad \psi ^{\prime }={\frac {\mu _{1}}{4\pi r^{\prime }}},$

$r^{\prime }$ étant la distance du point $x^{\prime },$ $y^{\prime },$ $z^{\prime }$ au point $x_{1}^{\prime },$ $y_{1}^{\prime },$ $z_{1}^{\prime },$ et par conséquent :

$\alpha ^{\prime }=\beta ^{\prime }=\gamma ^{\prime }=0,$ $f^{\prime }={\frac {\mu _{1}\left(x^{\prime }-x_{1}^{\prime }\right)}{4\pi r^{\prime 3}}},\quad g^{\prime }={\frac {\mu _{1}\left(y^{\prime }-y_{1}^{\prime }\right)}{4\pi r^{\prime 3}}},\quad h^{\prime }={\frac {\mu _{1}\left(z^{\prime }-z_{1}^{\prime }\right)}{4\pi r^{\prime 3}}}.$

Faisons maintenant la transformation inverse de celle de Lorentz pour trouver le champ véritable correspondant à une vitesse $-\epsilon ,$ $0,$ $0.$ Nous trouvons, en nous reportant aux équations (9) et (3) du § 1 :

(4)

${\begin{cases}\alpha =0,\quad \beta =\epsilon h,\quad \gamma =-\epsilon g,\\[8px]f={\frac {\mu _{1}kl^{3}}{4\pi r^{\prime 3}}}\left(x+\epsilon t-x_{1}-\epsilon t_{1}\right),\quad g={\frac {\mu _{1}kl^{3}}{4\pi r^{\prime 3}}}\left(y-y_{1}\right),\quad h={\frac {\mu _{1}kl^{3}}{4\pi r^{\prime 3}}}\left(z-z_{1}\right).\end{cases}}$

On voit que le champ magnétique est perpendiculaire à l’axe des $x$ (direction de la vitesse) et au champ électrique, et que le champ électrique est dirigé vers le point :

(5)

$x_{1}+\epsilon (t_{1}-t),\ y_{1},\ z_{1}.$

Si l’électron continuait à se mouvoir d’un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse qu’il avait à l’instant $t_{1}$, c’est-à-dire avec la vitesse $-\epsilon ,$ $0,$ $0$ ce point (5) serait celui qu’il occuperait à l’instant $t,$

Passons à l’onde d’accélération ; nous pouvons, grâce à la transformation de Lorentz, ramener sa détermination au cas où la vitesse est nulle. C’est le cas qui est réalisé si on imagine un électron qui exécute des oscillations d’amplitude très petites, mais très rapides, de façon que les déplacements et les vitesses soient infiniment petits, mais que les accélérations soient finies. On retombe ainsi sur le champ qui a été étudié dans le célèbre Mémoire de Hertz intitulé Die Kräfte elektrischer Schwingungen nach der Maxwell’schen Theorie et cela pour un point très éloigné. Dans ces conditions :

1^o Les deux champs électrique et magnétique sont égaux entre eux.

2^o Ils sont perpendiculaires entre eux.

3^o Ils sont perpendiculaires à la normale à la sphère d’onde, c’est-à-dire à la sphère dont le centre est le point $x_{1},$ $y_{1},$ $z_{1}.$