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et d'autre part


avec


il viendra:


avec

Si nous donnons à la valeur , que nous supposions infiniment petit,


il viendra:

C'est là la transformation infinitésimale génératrice du groupe, que j'appellerai la transformation et qui d'après la notation de Lie peut s'écrire:

Si nous supposons et , nous trouverions au contraire


et nous aurions une autre transformation infinitésimale du groupe (à supposer que et soient regardés comme des variables indépendantes) et on aurait avec la notation de Lie:

Mais on pourrait faire jouer à l'axe des ou à celui des le rôle particulier que nous avons fait jouer à l'axe des ; on aurait ainsi deux autres transformations infinitésimales:


qui n'altéreraient pas non plus les équations de Lorentz.

On peut former les combinaisons imaginées par Lie, telles que


mais il est aisé de voir que cette transformation équivaut à un changement d'axes de coordonnées, les axes tournant d'un angle très petit autour de l'axe des . Nous ne