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Remarquons que

$\xi ^{\prime }={\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }},\quad \eta ^{\prime }={\frac {\eta }{k\left(1+\xi \epsilon \right)}};$

il viendra, en remplaçant $\delta t^{\prime }$ par sa valeur,

$kl\left(1+\xi \epsilon \right)\delta U=\delta U^{\prime }\left(1+\xi \epsilon \right)+\left(\xi +\epsilon \right)kl\epsilon \delta U,$ $l\left(1+\xi \epsilon \right)\delta V=\delta V^{\prime }\left(1+\xi \epsilon \right)+\eta l\epsilon \delta U.$

Si nous nous rappelons la définition de $k,$ nous tirerons de là :

$\delta U={\frac {k}{l}}\delta U^{\prime }+{\frac {k\epsilon }{l}}\xi \delta U^{\prime },$ $\delta V={\frac {1}{l}}\delta V^{\prime }+{\frac {k\epsilon }{l}}\eta \delta U^{\prime },$

et de même

$\delta W={\frac {1}{l}}\delta W^{\prime }+{\frac {k\epsilon }{l}}\zeta \delta U^{\prime };$

d’où

(3)

$\sum X\delta U={\frac {1}{l}}\left(kX\delta U^{\prime }+Y\delta V^{\prime }+Z\delta W^{\prime }\right)+{\frac {k\epsilon }{l}}\delta U^{\prime }\sum X\xi .$

Or, en vertu des équations (2) on doit avoir :

$\int \sum X^{\prime }\delta U^{\prime }dt^{\prime }\ d\tau ^{\prime }=\int \sum X\delta U\ dt\ d\tau ={\frac {1}{l^{4}}}\sum X\delta U\ dt^{\prime }\ d\tau ^{\prime }.$

En remplaçant $\sum X\delta U$ par sa valeur (3) et identifiant, il vient :

$X^{\prime }={\frac {k}{l^{5}}}X+{\frac {k\epsilon }{l^{5}}}\sum X\xi ,\quad Y^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}Y,\quad Z^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}Z.$

Ce sont les équations (11) du § 1. Le principe de moindre action nous conduit donc au même résultat que l’analyse du § 1.

Si nous nous reportons aux formules (1), nous voyons que $\sum f^{2}-\sum \alpha ^{2}$ n’est pas altérée par la transformation de Lorentz, sauf un facteur constant ; il n’en est pas de même de l’expression $\sum f^{2}+\sum \alpha ^{2}$ qui figure dans l’énergie. Si nous nous bornons au cas où $\epsilon$ est assez petit pour qu’on en puisse négliger le carré de sorte que $k=1$ et si nous supposons aussi $l=1,$ nous trouvons :

$\sum f^{\prime 2}=\sum f^{2}+2\epsilon \left(g\gamma -h\beta \right),$ $\sum \alpha ^{\prime 2}=\sum \alpha ^{2}+2\epsilon \left(g\gamma -h\beta \right),$

ou, par addition,

$\sum f^{\prime 2}+\sum \alpha ^{\prime 2}=\sum f^{2}+\sum \alpha ^{2}+4\epsilon \left(g\gamma -h\beta \right).$

§ 4. — Le Groupe de Lorentz.

Il importe de remarquer que les transformations de Lorentz forment un groupe.

Si l’on pose en effet :

$x^{\prime }=kl(x+\epsilon t),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=kl(t+\epsilon x),$