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de sorte que si l’on pose :

$J^{\prime }=\int dt^{\prime }\ d\tau ^{\prime }\left({\frac {\sum f^{\prime 2}}{2}}-{\frac {\sum \alpha ^{\prime 2}}{2}}\right),$

il vient :

$J^{\prime }=J.$

Il faut toutefois, pour que cette égalité soit justifiée, que les limites d’intégration soient les mêmes ; jusqu’ici nous avons admis que $t$ variait depuis $t_{0}$ jusqu’à $t_{1},$ et $x,$ $y$, $z$ depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty$. À ce compte les limites d’intégration seraient altérées par la transformation de Lorentz ; mais rien ne nous empêche de supposer $t_{0}=-\infty ,$ $t_{1}=+\infty ;$ avec ces conditions les limites sont les mêmes pour $J$ et pour $J{\prime }.$

Nous avons alors à comparer les deux équations suivantes analogues à l’équation (10) du § 2 :

(2)

${\begin{cases}\displaystyle \delta J=-\int \sum X\delta U\ d\tau \ dt\\\\\displaystyle \delta J^{\prime }=-\int \sum X^{\prime }\delta U^{\prime }\ d\tau ^{\prime }\ dt^{\prime }.\end{cases}}$

Pour cela, il faut d’abord comparer $\delta U^{\prime }$ à $\delta U.$.

Considérons un électron dont les coordonnées initiales sont $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0};$ ses coordonnées à l’instant $t,$ seront

$x=x_{0}+U,\quad y=y_{0}+V,\quad z=z_{0}+W.$

Si on considère l’électron correspondant après la transformation de Lorentz, il aura pour coordonnées

$x^{\prime }=kl\left(x+\epsilon t\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,$

où

$x^{\prime }=x_{0}+U^{\prime },\quad y^{\prime }=y_{0}+V^{\prime },\quad z^{\prime }=z_{0}+W^{\prime };$

mais il n’atteindra ces coordonnées qu’à l’instant

$t^{\prime }=kl\left(t+\epsilon x\right).$

Si nous faisons subir à nos variables des variations $\delta U,$ $\delta V,$ $\delta W$ et que nous donnions en même temps à $t$ un accroissement $\delta t,$ les coordonnées $x,$ $y,$ $z$ subiront un accroissement total

$\delta x=\delta U+\xi \delta t,\quad \delta y=\delta V+\eta \delta t,\quad \delta z=\delta W+\zeta \delta t.$

Nous aurons de même :

$\delta x^{\prime }=\delta U^{\prime }+\xi ^{\prime }\delta t^{\prime },\quad \delta y^{\prime }=\delta V^{\prime }+\eta ^{\prime }\delta t^{\prime },\quad \delta z^{\prime }=\delta W^{\prime }+\zeta ^{\prime }\delta t^{\prime }$

et en vertu de la transformation de Lorentz :

$\delta x^{\prime }=kl\left(\delta x+\epsilon \delta t\right),\quad \delta y^{\prime }=l\delta y,\quad \delta z^{\prime }=l\delta z,\quad \delta t^{\prime }=kl\left(\delta t+\epsilon \delta x\right),$

d’où, en supposant $\delta t=0,$ les relations :

${\begin{aligned}\delta x^{\prime }&=\delta U^{\prime }+\xi ^{\prime }\delta t^{\prime }=kl\delta U,\\\delta y^{\prime }&=\delta V^{\prime }+\eta ^{\prime }\delta t^{\prime }=l\delta V,\\\delta t^{\prime }&=kl\epsilon \delta U.\end{aligned}}$