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de sorte que si l'on pose:

$J^{\prime }=\int dt^{\prime }\ d\tau ^{\prime }\left({\frac {\sum f^{\prime 2}}{2}}-{\frac {\sum \alpha ^{\prime 2}}{2}}\right),$

il vient:

$J^{\prime }=J.$

Il faut toutefois, pour que cette égalité soit justifiée, que les limites d'intégration soient les mêmes; jusqu'ici nous avons admis que $t$ variait depuis $t_{0}$ jusqu'à $t_{1}$, et $x$, $y$, $z$ depuis $-\infty$ jusqu'à $+\infty$. A ce compte les limites d'intégration seraient altérées par la transformation de Lorentz; mais rien ne nous empêche de supposer $t_{0}=-\infty$, $t_{1}=+\infty$; avec ces conditions les limites sont les mêmes pour $J$ et pour $J{\prime }$.

Nous avons alors à comparer les deux équations suivantes analogues à l'équation (10) du § 2:

(2)	${\begin{cases}\displaystyle \delta J=-\int \sum X\delta U\ d\tau \ dt\\\\\displaystyle \delta J^{\prime }=-\int \sum X^{\prime }\delta U^{\prime }\ d\tau ^{\prime }\ dt^{\prime }.\end{cases}}$

Pour cela, il faut d'abord comparer $\delta U^{\prime }$ à $\delta U$.

Considérons un électron dont les coordonnées initiales sont $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$; ses coordonnées à l'instant $t$, seront

$x=x_{0}+U,\quad y=y_{0}+V,\quad z=z_{0}+W.$

Si on considère l'électron correspondant après la transformation de Lorentz, il aura pour coordonnées

$x^{\prime }=kl\left(x+\epsilon t\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,$

où

$x^{\prime }=x_{0}+U^{\prime },\quad y^{\prime }=y_{0}+V^{\prime },\quad z^{\prime }=z_{0}+W^{\prime };$

mais il n'atteindra ces coordonnées qu'à l'instant

$t^{\prime }=kl\left(t+\epsilon x\right).$

Si nous faisons subir à nos variables des variations $\delta U$, $\delta V$, $\delta W$ et que nous donnions en même temps à $t$ un accroissement $\delta t$, les coordonnées $x$, $y$, $z$ subiront un accroissement total

$\delta x=\delta U+\xi \delta t,\quad \delta y=\delta V+\eta \delta t,\quad \delta z=\delta W+\zeta \delta t.$

Nous aurons de même:

$\delta x^{\prime }=\delta U^{\prime }+\xi ^{\prime }\delta t^{\prime },\quad \delta y^{\prime }=\delta V^{\prime }+\eta ^{\prime }\delta t^{\prime },\quad \delta z^{\prime }=\delta W^{\prime }+\zeta ^{\prime }\delta t^{\prime },$

et en vertu de la transformation de Lorentz:

$\delta x^{\prime }=kl\left(\delta x+\epsilon \delta t\right),\quad \delta y^{\prime }=l\delta y,\quad \delta z^{\prime }=l\delta z,\quad \delta t^{\prime }=kl\left(\delta t+\epsilon \delta x\right).$

d'où, en supposant $\delta t=0$, les relations:

${\begin{aligned}\delta x^{\prime }&=\delta U^{\prime }+\xi ^{\prime }\delta t^{\prime }=kl\delta U,\\\delta y^{\prime }&=\delta V^{\prime }+\eta ^{\prime }\delta t^{\prime }=l\delta V,\\\delta t^{\prime }&=kl\epsilon \delta U.\end{aligned}}$